大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t,(x \geq 0)$ ，证明： $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题与已知条件
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，$F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，$x \geq 0$。要证明 $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime}(0)$。
提示：注意单调递增函数不一定连续，但可积。
步骤 2/7
目标：写出右导数定义
由右导数定义：
$$F_{+}^{\prime}(0)=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x}.$$
公式：$$F_{+}^{\prime}(0)=\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x}$$
提示：注意 $F(0)=0$，不要遗漏。
步骤 3/7
目标：利用单调性得到不等式
由于 $f$ 单调递增，对任意 $t \in [0,x]$，有 $f(0) \leq f(t) \leq f(x)$。积分得：
$$f(0)x \leq \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \leq f(x)x.$$
公式：$$f(0)x \leq \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \leq f(x)x$$
提示：注意积分不等式方向与函数大小关系一致。
步骤 4/7
目标：除以 $x$ 得到夹逼形式
当 $x>0$ 时，除以 $x$ 得：
$$f(0) \leq \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x} \leq f(x).$$
公式：$$f(0) \leq \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x} \leq f(x)$$
提示：注意 $x>0$，不等式方向不变。
步骤 5/7
目标：考虑 $x \to 0^{+}$ 时 $f(x)$ 的极限
由于 $f$ 单调递增，右极限 $f(0^{+})=\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ 存在（可能为有限值或无穷，但由可积性知有限）。由夹逼准则，若 $f(0)=f(0^{+})$，则极限为 $f(0)$；但一般情况，需更精细分析。
提示：单调函数在每点都有左右极限，但可能不连续。
步骤 6/7
目标：用 $\varepsilon-\delta$ 语言严格证明
对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $0
公式：$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x} = f(0^{+})$$
提示：注意 $f(0^{+})$ 是右极限，不一定等于 $f(0)$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，且 $F_{+}^{\prime}(0)=f(0^{+})$。
公式：$$F_{+}^{\prime}(0)=f(0^{+})$$
提示：最终答案依赖于 $f$ 在 $0$ 处的右极限。
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