大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三、证明题．（每题 12 分，共 60 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法假设
假设对于所有 $x \in [a, b]$，都有 $f(x) \neq 0$。由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，由连续函数的保号性，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒正或恒负。
提示：注意反证法的使用：假设结论不成立，即不存在零点，则函数恒不为零。
步骤 2/5
目标：不妨设函数恒正
不妨设 $f(x) > 0$ 对所有 $x \in [a, b]$ 成立。则存在 $m > 0$ 使得 $f(x) \geq m$（因为连续函数在闭区间上有最小值）。
提示：连续函数在闭区间上必有最小值，且最小值大于0。
步骤 3/5
目标：积分不等式推导
于是
$$
\int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b m \, dx = m(b-a) > 0,
$$
与已知 $\int_a^b f(x) \, dx = 0$ 矛盾。
公式：\int_a^b f(x) \, dx \geq m(b-a)
提示：注意积分保序性：若 $f(x) \geq g(x)$，则 $\int f \geq \int g$。
步骤 4/5
目标：同理处理恒负情况
同理，若 $f(x) < 0$，则存在最大值 $M < 0$，使得 $f(x) \leq M$，从而
$$
\int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a) < 0,
$$
也与已知矛盾。
公式：\int_a^b f(x) \, dx \leq M(b-a)
提示：注意不等号方向：当 $f(x) \leq M$ 时，积分也满足该不等式。
步骤 5/5
目标：得出矛盾，假设不成立
因此假设不成立，故存在 $\xi \in [a, b]$ 使得 $f(\xi) = 0$。
提示：反证法结论：假设导致矛盾，所以原命题成立。
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