大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、 $\Gamma: y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ ，从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ ，求第二型曲线积分
$$
I=\int_{\Gamma}\left(e^{x} \sin y-4 y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y+4 x\right) \mathrm{d} y
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲线特征
曲线 $\Gamma: y=\sqrt{2x-x^2}$ 可化为 $(x-1)^2+y^2=1$，且 $y\ge0$，因此是上半圆，从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 沿逆时针方向。
提示：注意曲线方向是从 $O$ 到 $A$，即逆时针方向。
步骤 2/7
目标：计算偏导数
令 $P(x,y)=e^x\sin y-4y$，$Q(x,y)=e^x\cos y+4x$。计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y-4,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y+4.
$$
提示：注意 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 的计算要准确。
步骤 3/7
目标：判断积分与路径的关系
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=8\neq0$，积分与路径有关，不能直接使用原函数。
提示：若差值为零，则积分与路径无关，可用原函数法。
步骤 4/7
目标：构造封闭曲线
补上直线段 $\Gamma_1: y=0$ 从 $A(2,0)$ 到 $O(0,0)$，则 $\Gamma+\Gamma_1$ 构成逆时针方向的封闭曲线。
提示：注意补线的方向要与原曲线构成正向封闭曲线。
步骤 5/7
目标：应用格林公式
由格林公式，
$$
\oint_{\Gamma+\Gamma_1} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy = \iint_D 8\,dxdy = 8\cdot \text{面积}(D).
$$
其中 $D$ 是上半圆域：$(x-1)^2+y^2\le1,\ y\ge0$，面积为 $\frac{\pi}{2}$。所以
$$
\oint_{\Gamma+\Gamma_1} = 8\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi.
$$
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$
提示：注意封闭曲线的方向是逆时针，面积计算正确。
步骤 6/7
目标：计算补线上的积分
在 $\Gamma_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $2$ 到 $0$（方向从 $A$ 到 $O$），则
$$
\int_{\Gamma_1} P\,dx+Q\,dy = \int_{2}^{0} (e^x\sin0-0)\,dx + 0 = \int_{2}^{0} 0\,dx = 0.
$$
提示：注意积分限的方向：从 $2$ 到 $0$，但被积函数为 $0$，结果仍为 $0$。
步骤 7/7
目标：得出原曲线积分
由封闭曲线积分减去补线积分得：
$$
\int_{\Gamma} = \oint_{\Gamma+\Gamma_1} - \int_{\Gamma_1} = 4\pi - 0 = 4\pi.
$$
提示：注意符号：原曲线积分等于封闭曲线积分减去补线积分。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。