大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、求三重积分 $I=\iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \left(z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中
$$
V=\left\{(x, y, z): \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 3\right\}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：选择坐标系并变换
由于被积函数和积分区域都含有 $\sqrt{x^2+y^2}$，采用柱坐标变换：令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z = z$，则 $\sqrt{x^2+y^2}=r$，体积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$。
公式：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z$
提示：注意柱坐标变换中体积元多一个因子 $r$，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：确定积分区域
积分区域 $V: \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 3$ 在柱坐标下变为：$0 \leq \theta \leq 2\pi$, $0 \leq r \leq z$, $0 \leq z \leq 3$。注意 $r$ 的上限是 $z$，因为 $r = \sqrt{x^2+y^2} \leq z$。
提示：注意 $r$ 的范围依赖于 $z$，积分次序应为先 $r$ 后 $z$ 再 $\theta$。
步骤 3/6
目标：写出三重积分并化简
将积分化为累次积分：
$$I = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^3 \sin(z^2) \,\mathrm{d}z \int_0^z r \cdot r \,\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^3 \sin(z^2) \,\mathrm{d}z \int_0^z r^2 \,\mathrm{d}r.$$
计算内层积分：$\int_0^z r^2 \,\mathrm{d}r = \frac{z^3}{3}$，于是
$$I = 2\pi \int_0^3 \sin(z^2) \cdot \frac{z^3}{3} \,\mathrm{d}z = \frac{2\pi}{3} \int_0^3 z^3 \sin(z^2) \,\mathrm{d}z.$$
公式：$\int_0^z r^2 \,\mathrm{d}r = \frac{z^3}{3}$
提示：注意 $r$ 的积分限是 $0$ 到 $z$，不要写反。
步骤 4/6
目标：换元简化积分
令 $u = z^2$，则 $\mathrm{d}u = 2z\,\mathrm{d}z$，$z^3\,\mathrm{d}z = \frac{1}{2} u \,\mathrm{d}u$。当 $z=0$ 时 $u=0$，$z=3$ 时 $u=9$。代入得
$$I = \frac{2\pi}{3} \int_0^9 \frac{1}{2} u \sin u \,\mathrm{d}u = \frac{\pi}{3} \int_0^9 u \sin u \,\mathrm{d}u.$$
公式：$z^3\,\mathrm{d}z = \frac{1}{2} u \,\mathrm{d}u$
提示：换元时注意微分变换要准确，不要漏掉因子。
步骤 5/6
目标：分部积分计算
计算 $\int u \sin u \,\mathrm{d}u$：使用分部积分法，令 $u$ 为代数函数，$\sin u$ 为三角函数，则
$$\int u \sin u \,\mathrm{d}u = -u\cos u + \sin u + C.$$
因此
$$\int_0^9 u \sin u \,\mathrm{d}u = \left[-u\cos u + \sin u\right]_0^9 = (-9\cos 9 + \sin 9) - (0 + 0) = \sin 9 - 9\cos 9.$$
公式：$\int u \sin u \,\mathrm{d}u = -u\cos u + \sin u + C$
提示：分部积分时注意符号，$\int u \sin u \,\mathrm{d}u$ 的结果是 $-u\cos u + \sin u$，不要忘记 $\sin u$ 项。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将积分结果代入 $I$ 的表达式：
$$I = \frac{\pi}{3} (\sin 9 - 9\cos 9).$$
因此，所求三重积分为 $\boxed{\dfrac{\pi}{3}(\sin 9 - 9\cos 9)}$。
提示：最终结果要化简，注意括号的使用。
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