大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、求 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}-e^{-3 x}}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将积分转化为二重积分
利用恒等式 $\frac{e^{-x}-e^{-3x}}{x} = \int_{1}^{3} e^{-tx} \, dt$，将原积分化为二重积分：
$$ I = \int_{0}^{+\infty} \sin x \int_{1}^{3} e^{-tx} \, dt \, dx = \int_{0}^{+\infty} \int_{1}^{3} e^{-tx} \sin x \, dt \, dx. $$
公式：$\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} = \int_a^b e^{-tx} \, dt$
提示：注意积分限：$a=1, b=3$，且 $x>0$ 时积分收敛。
步骤 2/6
目标：交换积分次序
由于被积函数非负且积分绝对收敛，可交换积分次序：
$$ I = \int_{1}^{3} \int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx \, dt. $$
公式：Fubini定理
提示：交换次序时注意积分限的变化：$x$ 从 $0$ 到 $+\infty$，$t$ 从 $1$ 到 $3$。
步骤 3/6
目标：计算内层积分
计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx$。利用分部积分或已知公式：
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin x \, dx = \frac{1}{t^2+1}, \quad t>0. $$
公式：$\int_{0}^{\infty} e^{-tx} \sin x \, dx = \frac{1}{t^2+1}$
提示：该公式可通过两次分部积分或拉普拉斯变换得到，注意 $t>0$ 保证收敛。
步骤 4/6
目标：化为定积分
代入内层积分结果，得到关于 $t$ 的定积分：
$$ I = \int_{1}^{3} \frac{1}{t^2+1} \, dt. $$
提示：注意积分变量为 $t$，被积函数为有理函数。
步骤 5/6
目标：计算定积分
利用反正切函数的导数 $\frac{d}{dt} \arctan t = \frac{1}{t^2+1}$，得：
$$ I = \left[ \arctan t \right]_{1}^{3} = \arctan 3 - \arctan 1. $$
公式：$\int \frac{1}{t^2+1} \, dt = \arctan t + C$
提示：注意 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
代入 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，得：
$$ I = \arctan 3 - \frac{\pi}{4}. $$
提示：结果保留反正切形式，无需近似。
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