大连理工大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、计算题．（每题 10 分，共 30 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：识别极限形式并应用洛必达法则
当 \(x \to 0\) 时，分子 \(\sin x - x \cos x \to 0\)，分母 \(x^3 \to 0\)，满足洛必达法则条件。对分子分母分别求导：
\[ f'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x, \quad g'(x) = 3x^2. \]
因此原极限等于 \(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{3x^2}\).
公式：洛必达法则：\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 当 \(f,g \to 0\) 或 \(\infty\)
提示：验证洛必达条件：分子分母同时趋于0或无穷；求导时注意复合函数求导法则。
步骤 2/8
目标：化简并计算极限
化简得 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x}\)。利用重要极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)，得极限值为 \(\frac{1}{3}\).
公式：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
提示：注意约分时 \(x\) 不能为0，但极限过程允许。
步骤 3/8
目标：（方法二）使用泰勒展开
将 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 展开：
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5), \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4). \]
代入分子：
\[ \sin x - x \cos x = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - x\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^5) = \frac{x^3}{3} + O(x^5). \]
因此极限为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{3}\).
公式：泰勒展开：\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots\), \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots\)
提示：展开到与分母同阶，注意 \(O(x^5)\) 项在除以 \(x^3\) 后趋于0。
步骤 4/8
目标：换元化简不定积分
令 \(x = \tan t\)，则 \(dx = \sec^2 t dt\)，\(\sqrt{1+x^2} = \sec t\)。代入得：
\[ \int \frac{1}{x^2 \sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{1}{\tan^2 t \cdot \sec t} \cdot \sec^2 t dt = \int \frac{\sec t}{\tan^2 t} dt. \]
化简 \(\frac{\sec t}{\tan^2 t} = \frac{1/\cos t}{\sin^2 t/\cos^2 t} = \frac{\cos t}{\sin^2 t}\).
公式：三角恒等式：\(1+\tan^2 t = \sec^2 t\)
提示：注意 \(\sqrt{1+x^2}\) 开方取正值，因为 \(x\) 为实数。
步骤 5/8
目标：换元积分并回代
令 \(u = \sin t\)，则 \(du = \cos t dt\)，积分变为 \(\int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\sin t} + C\)。由 \(x = \tan t\) 得 \(\sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，因此原积分为 \(-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + C\).
公式：基本积分公式：\(\int u^{-2} du = -u^{-1} + C\)
提示：回代时注意符号和定义域，\(x \neq 0\)。
步骤 6/8
目标：换元化简定积分
令 \(x = \tan t\)，则 \(dx = \sec^2 t dt\)，积分限变为 \(t: 0 \to \pi/4\)。代入得：
\[ \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx = \int_0^{\pi/4} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \sec^2 t dt = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) dt. \]
公式：换元积分法
提示：注意积分限的对应，\(1+\tan^2 t = \sec^2 t\) 与 \(dx\) 中的 \(\sec^2 t\) 约去。
步骤 7/8
目标：利用恒等式化简被积函数
利用恒等式 \(1+\tan t = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} = \frac{\sqrt{2} \cos(\pi/4 - t)}{\cos t}\)，则 \(\ln(1+\tan t) = \ln \sqrt{2} + \ln \cos(\pi/4 - t) - \ln \cos t\)。
公式：三角恒等式：\(\sin t + \cos t = \sqrt{2} \cos(\pi/4 - t)\)
提示：注意对数性质：\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)。
步骤 8/8
目标：对称性消去并计算定积分
积分 \(I = \int_0^{\pi/4} \ln \sqrt{2} dt + \int_0^{\pi/4} \ln \cos(\pi/4 - t) dt - \int_0^{\pi/4} \ln \cos t dt\)。对第二项作代换 \(u = \pi/4 - t\)，得 \(\int_0^{\pi/4} \ln \cos u du\)，与第三项抵消。因此 \(I = \int_0^{\pi/4} \ln \sqrt{2} dt = \frac{\pi}{4} \ln \sqrt{2} = \frac{\pi}{8} \ln 2\).
公式：定积分的对称性：\(\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx\)
提示：注意代换后积分限的变化，抵消时小心符号。
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