大连理工大学 2026年数学分析第0题

题目要求构造一个函数 $f(x)$，使得它仅在 $x=0$ 和 $x=2026$ 两点可微，而在其余所有点都不连续。这意味着函数在 $x=0$ 和 $x=2026$ 处必须连续且导数存在，而在其他点，函数要么不连续，要么连续但不可微（但题目要求不连续，所以必须不连续）。

考虑利用狄利克雷函数的思想：在有理数点和无理数点取不同的值。通常，狄利克雷函数 $D(x)$ 在有理数取1，无理数取0，处处不连续。为了在特定点连续且可微，需要让函数值在有理数和无理数上趋于相同的极限。例如，取 $f(x)=x^2$ 在有理数，$f(x)=0$ 在无理数，则在 $x=0$ 处连续且可微（导数为0），但在其他点不连续。类似地，为了在 $x=2026$ 处也可微，需要修改有理数上的表达式，使得在 $x=2026$ 处也为0且导数存在。

尝试构造：$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\in\mathbb{Q}\text{且}x\neq2026\\(x-2026)^2,&x\in\mathbb{Q}\text{且}x=2026\\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$。但这样在 $x=2026$ 处，有理数点（除 $x=2026$ 外）的函数值接近 $2026^2$，而 $f(2026)=0$，导致极限不存在，不连续。因此该构造错误。

为了在 $x=0$ 和 $x=2026$ 处都连续且可微，需要让有理数上的函数在这两点为零且导数也为零。一个简单的选择是 $g(x)=x^2(x-2026)^2$，它在 $x=0$ 和 $x=2026$ 处为零，且导数为零（因为 $g'(x)=2x(x-2026)^2+2x^2(x-2026)$，在 $x=0$ 和 $x=2026$ 处均为0）。因此，定义 $f(x)=\begin{cases}x^2(x-2026)^2,&x\in\mathbb{Q}\\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$。

在 $x=0$ 处：$f(0)=0$（因为 $0\in\mathbb{Q}$，$g(0)=0$）。对于任意 $x\to0$，若 $x$ 为有理数，$f(x)=x^2(x-2026)^2\to0$；若 $x$ 为无理数，$f(x)=0\to0$。因此 $\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)$，连续。类似地，在 $x=2026$ 处：$f(2026)=0$（因为 $2026\in\mathbb{Q}$，$g(2026)=0$）。当 $x\to2026$ 时，有理数点 $f(x)=x^2(x-2026)^2\to0$，无理数点 $f(x)=0$，所以极限为0，连续。在其他点 $a\neq0,2026$：若 $a$ 为有理数，则 $f(a)=a^2(a-2026)^2\neq0$，但附近无理数点函数值为0，极限不存在，不连续；若 $a$ 为无理数，则 $f(a)=0$，但附近有理数点函数值接近 $a^2(a-2026)^2\neq0$，极限不存在，不连续。因此仅在 $x=0$ 和 $x=2026$ 处连续。

在 $x=0$ 处，计算导数：$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$。当 $h$ 为有理数时，$\frac{h^2(h-2026)^2-0}{h}=h(h-2026)^2\to0$；当 $h$ 为无理数时，$\frac{0-0}{h}=0$。因此极限为0，导数存在且为0。类似地，在 $x=2026$ 处，$f'(2026)=\lim_{h\to0}\frac{f(2026+h)-f(2026)}{h}$。当 $h$ 为有理数时，$f(2026+h)=(2026+h)^2 h^2$（注意：$2026+h$ 为有理数，且 $h\neq0$，所以 $f(2026+h)=(2026+h)^2 h^2$），差商为 $(2026+h)^2 h\to0$；当 $h$ 为无理数时，$f(2026+h)=0$，差商为0。因此导数为0。在其他点，由于函数不连续，不可微。

因此，满足条件的函数为： $$ f(x) = \begin{cases} x^2(x-2026)^2, & \text{若 } x \in \mathbb{Q}, \\ 0, & \text{若 } x \notin \mathbb{Q}. \end{cases} $$ 该函数仅在 $x=0$ 和 $x=2026$ 处可微，在其他点不连续。