大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
10．$\left\{a_{n}\right\}$ 收玫当且仅当对任给的正整数 $p$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0$ ，此命题是否正确？为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题并判断正误
命题：数列 $\{a_n\}$ 收敛当且仅当对任意正整数 $p$，有 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。我们需要判断这个命题是否正确。直觉上，这个条件比柯西收敛准则弱，可能不充分。
提示：注意区分“对任意正整数p”和“对任意ε>0，存在N使得对所有m,n>N”的区别。
步骤 2/6
目标：构造反例
考虑调和级数的部分和数列 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$。该数列发散（因为调和级数发散），但我们需要验证它满足命题中的条件。
公式：$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
提示：调和级数的部分和是发散的，但相邻项之差很小。
步骤 3/6
目标：验证条件对任意固定的p成立
对任意固定的正整数 $p$，计算差值的绝对值：
$$|a_{n+p} - a_n| = \sum_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k} \leq \frac{p}{n+1}$$
因为 $\frac{1}{k} \leq \frac{1}{n+1}$ 对 $k \geq n+1$ 成立。于是当 $n\to\infty$ 时，$\frac{p}{n+1}\to 0$，所以 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。
公式：$|a_{n+p} - a_n| \leq \frac{p}{n+1}$
提示：注意放缩时p是固定的，所以p/(n+1)趋于0。
步骤 4/6
目标：说明反例不收敛
调和级数 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ 发散，因此其部分和数列 $\{a_n\}$ 不收敛（趋于无穷）。所以该数列满足条件但不收敛，从而命题不成立。
提示：调和级数发散是经典结论，可通过积分判别法或比较判别法证明。
步骤 5/6
目标：分析原因：与柯西收敛准则的比较
柯西收敛准则要求：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $m,n>N$ 有 $|a_m-a_n|<\varepsilon$。而本题条件只要求对每个固定的 $p$（即 $m=n+p$）成立，这相当于只考虑了“相邻”项（间隔固定）的差值趋于0，但无法控制任意两个足够远的项之间的差值。例如，调和级数的部分和虽然间隔固定时差值趋于0，但整体发散。
提示：柯西列要求所有充分大的项彼此接近，而不仅仅是固定间隔的项。
步骤 6/6
目标：总结命题错误
因此，命题“$\{a_n\}$ 收敛当且仅当对任意正整数 $p$，有 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$”不正确。该条件是收敛的必要条件，但不是充分条件。
提示：必要但不充分，反例是调和级数的部分和。
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