大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{e^{x}-1}-e \sqrt[x]{x}}{\sqrt[x]{x}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简表达式
原极限为 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{e^x - 1} - e \sqrt[x]{x}}{\sqrt[x]{x}}$。将分子拆开，得到 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\sqrt{e^x - 1}}{\sqrt[x]{x}} - e \right)$。
提示：注意拆分后极限是否存在需要分别考虑，但这里我们只需计算整体极限。
步骤 2/6
目标：计算 $\sqrt[x]{x}$ 的极限
计算 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \sqrt[x]{x} = \lim_{x \to 0^+} x^{1/x}$。取对数：$\ln(x^{1/x}) = \frac{\ln x}{x}$。当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，$x \to 0^+$，所以 $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$。因此 $x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}} \to 0$。
公式：$\lim_{x \to 0^+} x^{1/x} = 0$
提示：注意 $\frac{\ln x}{x}$ 的极限是 $-\infty$，不是 $0$。
步骤 3/6
目标：分析 $\sqrt{e^x - 1}$ 的渐近行为
当 $x \to 0^+$ 时，$e^x - 1 \sim x$，所以 $\sqrt{e^x - 1} \sim \sqrt{x}$。
公式：$e^x - 1 \sim x$ 当 $x \to 0$
提示：等价无穷小替换时注意 $x$ 趋于 $0$。
步骤 4/6
目标：比较分子分母的阶数
考虑 $\frac{\sqrt{e^x - 1}}{\sqrt[x]{x}} \sim \frac{\sqrt{x}}{x^{1/x}}$。令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$，当 $x \to 0^+$ 时 $t \to +\infty$。于是 $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{t}}$，$x^{1/x} = \left(\frac{1}{t}\right)^t = t^{-t} = e^{-t \ln t}$。因此 $\frac{\sqrt{x}}{x^{1/x}} \sim \frac{1/\sqrt{t}}{e^{-t \ln t}} = \frac{e^{t \ln t}}{\sqrt{t}}$。
提示：换元后注意指数增长远快于幂函数。
步骤 5/6
目标：计算 $\frac{\sqrt{e^x - 1}}{\sqrt[x]{x}}$ 的极限
由于 $e^{t \ln t}$ 的增长速度远快于 $\sqrt{t}$，当 $t \to +\infty$ 时，$\frac{e^{t \ln t}}{\sqrt{t}} \to +\infty$。因此 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{e^x - 1}}{\sqrt[x]{x}} = +\infty$。
提示：注意 $t \ln t \to +\infty$，所以指数趋于无穷大。
步骤 6/6
目标：得出原极限
原极限 $= \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\sqrt{e^x - 1}}{\sqrt[x]{x}} - e \right) = +\infty - e = +\infty$。
提示：无穷大减去有限数仍为无穷大。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。