大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(x)$ 可微，且有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x f(x)+f^{\prime}(x)}{x}=L \in \mathbb{R}$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：转化极限条件
由条件 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x f(x) + f'(x)}{x} = L$，分子分母同时除以 $x$ 得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) + \frac{f'(x)}{x} \right) = L$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \left( f(x) + \frac{f'(x)}{x} \right) = L$
提示：注意 $x \to +\infty$ 时 $\frac{f'(x)}{x}$ 可能趋于0，但这里不能直接分离极限，需整体处理。
步骤 2/7
目标：构造辅助函数
考虑函数 $g(x) = e^{x^2/2} f(x)$，则 $g'(x) = e^{x^2/2} (x f(x) + f'(x))$。于是 $\frac{g'(x)}{x e^{x^2/2}} = f(x) + \frac{f'(x)}{x}$。由条件，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{g'(x)}{x e^{x^2/2}} = L$。
公式：$g(x) = e^{x^2/2} f(x)$，$g'(x) = e^{x^2/2} (x f(x) + f'(x))$
提示：构造 $e^{x^2/2}$ 是为了使 $g'(x)$ 中出现 $x f(x) + f'(x)$ 的形式，注意求导正确。
步骤 3/7
目标：利用极限定义得到不等式
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，当 $x > X$ 时，$\left| \frac{g'(x)}{x e^{x^2/2}} - L \right| < \varepsilon$，即 $L - \varepsilon < \frac{g'(x)}{x e^{x^2/2}} < L + \varepsilon$。
公式：$L - \varepsilon < \frac{g'(x)}{x e^{x^2/2}} < L + \varepsilon$
提示：注意极限定义中 $\varepsilon$ 的任意性，这里取定一个 $\varepsilon$。
步骤 4/7
目标：积分不等式
固定 $a > X$，对 $x > a$，积分得 $\int_a^x (L - \varepsilon) t e^{t^2/2} dt < \int_a^x g'(t) dt < \int_a^x (L + \varepsilon) t e^{t^2/2} dt$。计算积分：$\int_a^x t e^{t^2/2} dt = e^{x^2/2} - e^{a^2/2}$，且 $\int_a^x g'(t) dt = g(x) - g(a)$。因此 $(L - \varepsilon)(e^{x^2/2} - e^{a^2/2}) < g(x) - g(a) < (L + \varepsilon)(e^{x^2/2} - e^{a^2/2})$。
公式：$\int_a^x t e^{t^2/2} dt = e^{x^2/2} - e^{a^2/2}$
提示：积分时注意 $g'(t)$ 的原函数是 $g(t)$，且 $t e^{t^2/2}$ 的原函数是 $e^{t^2/2}$。
步骤 5/7
目标：整理不等式并除以 $e^{x^2/2}$
整理得 $(L - \varepsilon) e^{x^2/2} + [g(a) - (L - \varepsilon) e^{a^2/2}] < g(x) < (L + \varepsilon) e^{x^2/2} + [g(a) - (L + \varepsilon) e^{a^2/2}]$。除以 $e^{x^2/2}$ 得 $L - \varepsilon + \frac{g(a) - (L - \varepsilon) e^{a^2/2}}{e^{x^2/2}} < f(x) < L + \varepsilon + \frac{g(a) - (L + \varepsilon) e^{a^2/2}}{e^{x^2/2}}$。
公式：$f(x) = g(x) e^{-x^2/2}$
提示：注意 $g(x) = e^{x^2/2} f(x)$，所以 $f(x) = g(x) e^{-x^2/2}$。
步骤 6/7
目标：取极限得到 $f(x)$ 的界
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{g(a) - (L \pm \varepsilon) e^{a^2/2}}{e^{x^2/2}} \to 0$，因此存在 $X' > a$，当 $x > X'$ 时，$\left| \frac{g(a) - (L \pm \varepsilon) e^{a^2/2}}{e^{x^2/2}} \right| < \varepsilon$，从而 $L - 2\varepsilon < f(x) < L + 2\varepsilon$。
提示：注意 $a$ 是固定的，所以分子是常数，分母趋于无穷大，比值趋于0。
步骤 7/7
目标：由极限定义得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$。
提示：极限定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X'$ 使得当 $x>X'$ 时 $|f(x)-L|<2\varepsilon$，即极限为 $L$。
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