大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\sup \left\{a_{n}\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设上确界并给出上界估计
设 $M = \sup\{a_n\}$。由于 $a_n > 0$，有 $a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n \leq n M^n$，因此 $\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \leq \sqrt[n]{n M^n} = M \sqrt[n]{n}$。
公式：$\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \leq M \sqrt[n]{n}$
提示：注意上确界可能不是最大值，但不等式仍然成立。
步骤 2/5
目标：利用极限得到上极限的不等式
因为 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$，所以对上式取上极限得 $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \leq M$。
公式：$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \leq M$
提示：上极限不等式方向不要弄反。
步骤 3/5
目标：构造下界估计
对任意 $\varepsilon > 0$，由 $M$ 的定义，存在 $k$ 使得 $a_k > M - \varepsilon$。当 $n \geq k$ 时，有 $\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \geq \sqrt[n]{a_k^n} = a_k > M - \varepsilon$。
公式：$\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \geq a_k > M - \varepsilon$
提示：注意 $n$ 必须大于等于 $k$ 才能保证 $a_k$ 在根号内。
步骤 4/5
目标：得到下极限的不等式
由上式，对任意 $\varepsilon > 0$，有 $\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \geq M - \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性得 $\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \geq M$。
公式：$\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} \geq M$
提示：下极限不等式方向不要弄反。
步骤 5/5
目标：综合上下极限得到极限
由前两步，有 $M \leq \liminf \leq \limsup \leq M$，因此 $\liminf = \limsup = M$，故极限存在且等于 $M$，即 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} = M = \sup\{a_n\}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_n^n} = \sup\{a_n\}$
提示：注意上下极限相等是极限存在的充要条件。
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