大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．证明 $\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解一致连续的定义
函数 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续的定义：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $\|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\| < \delta$ 时，有 $|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)| < \varepsilon$。要证明不一致连续，只需找到两个点列，距离趋于0但函数值差不趋于0。
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 2/7
目标：构造点列
取点列 $(x_n,y_n) = (\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, 0)$ 和 $(u_n,v_n) = (\sqrt{2n\pi}, 0)$，其中 $n \in \mathbb{N}$。
提示：构造点列时，要确保两点距离趋于0，但函数值差为常数。选择 $x^2+y^2$ 使得 $\sin$ 值分别为1和0。
步骤 3/7
目标：计算两点之间的距离
距离为 $\|(x_n,y_n)-(u_n,v_n)\| = \sqrt{(\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}-\sqrt{2n\pi})^2} = \sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}-\sqrt{2n\pi}$。
提示：注意距离公式的正确使用，这里 $y$ 坐标相同，所以距离简化为 $x$ 坐标差的绝对值。
步骤 4/7
目标：证明距离趋于0
利用有理化：$\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}-\sqrt{2n\pi} = \frac{(2n\pi+\frac{\pi}{2})-2n\pi}{\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}+\sqrt{2n\pi}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}}+\sqrt{2n\pi}} \to 0$ 当 $n \to \infty$。
公式：$\sqrt{a}-\sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
提示：有理化是处理根式差常用的方法，注意分子分母的正确计算。
步骤 5/7
目标：计算函数值差
$f(x_n,y_n) = \sin\left((\sqrt{2n\pi+\frac{\pi}{2}})^2 + 0^2\right) = \sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right) = 1$，$f(u_n,v_n) = \sin\left((\sqrt{2n\pi})^2 + 0^2\right) = \sin(2n\pi) = 0$，所以差为 $1-0=1$。
公式：$\sin(2n\pi+\frac{\pi}{2}) = 1$，$\sin(2n\pi) = 0$
提示：注意 $\sin$ 函数的周期性，$2n\pi$ 是 $\sin$ 的周期。
步骤 6/7
目标：应用一致连续定义的反面
取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$，则对于任意 $\delta > 0$，存在充分大的 $n$ 使得 $\|(x_n,y_n)-(u_n,v_n)\| < \delta$，但 $|f(x_n,y_n)-f(u_n,v_n)| = 1 > \varepsilon$。因此，函数不一致连续。
提示：不一致连续的证明关键是找到一对点列，使得距离任意小但函数值差固定大于某个正数。
步骤 7/7
目标：总结结论
函数 $f(x,y)=\sin(x^2+y^2)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上不一致连续。
提示：注意：本题的构造利用了 $x^2+y^2$ 的增长速度，使得两点距离趋于0但自变量平方差为常数。
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