大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．计算极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} \frac{2 x-3 y}{x^{2}-2 x y+3 y^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析极限形式
观察极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} \frac{2 x-3 y}{x^{2}-2 x y+3 y^{2}}$，分子和分母都是二次齐次式（分子次数1，分母次数2），因此考虑通过变量替换将二元极限转化为一元极限。
提示：注意分子是一次齐次，分母是二次齐次，因此极限可能依赖于路径。
步骤 2/7
目标：引入参数化路径
令 $y = kx$，其中 $k$ 为任意实数。当 $x \to \infty$ 且 $y \to \infty$ 时，$k$ 可以取任意值，表示不同的路径。代入原极限：
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 3(kx)}{x^2 - 2x(kx) + 3(kx)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{(2-3k)x}{x^2(1 - 2k + 3k^2)}.$$
公式：y = kx
提示：参数化时需注意 $k$ 为任意实数，但需避免分母为零的情况。
步骤 3/7
目标：化简表达式
将分子分母同时除以 $x$（注意 $x \to \infty$，$x \neq 0$）：
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2-3k}{x(1 - 2k + 3k^2)}.$$
提示：化简时注意 $x$ 在分母，且 $1-2k+3k^2$ 是常数。
步骤 4/7
目标：分析分母二次式
考虑分母中的二次式 $1 - 2k + 3k^2$，其判别式 $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8 < 0$，且二次项系数 $3 > 0$，因此该二次式恒正，即对任意实数 $k$，$1 - 2k + 3k^2 > 0$，不会为零。
公式：判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$
提示：注意判别式小于0且二次项系数大于0，说明二次式恒正，无需担心分母为零。
步骤 5/7
目标：计算极限值
由于 $1 - 2k + 3k^2 > 0$ 且为常数，当 $x \to \infty$ 时，$\frac{2-3k}{x(1 - 2k + 3k^2)} \to 0$。因此对任意实数 $k$，极限均为 $0$。
公式：$\lim_{x \to \infty} \frac{C}{x} = 0$，其中 $C$ 为常数
提示：注意分子 $2-3k$ 可能为零，但此时极限仍为0。
步骤 6/7
目标：判断极限与路径无关
由于对任意路径 $y = kx$，极限均为 $0$，且该极限不依赖于 $k$，因此原二元极限存在且为 $0$。
提示：二元极限存在要求所有路径极限相等，这里所有路径极限都是0，故极限为0。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，原极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} \frac{2 x-3 y}{x^{2}-2 x y+3 y^{2}} = 0$。
提示：最终答案应写为 $\boxed{0}$。
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