大连理工大学 2026年数学分析第0题

计算定积分 $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1-t}}$。令 $u=1-t$，则 $du=-dt$，积分限变为 $t=0 \Rightarrow u=1$，$t=x \Rightarrow u=1-x$，所以 $f(x)=\int_{1}^{1-x} \frac{-du}{\sqrt{u}} = \int_{1-x}^{1} u^{-1/2} du = \left[ 2u^{1/2} \right]_{1-x}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{1-x} = 2 - 2\sqrt{1-x}$。

将 $\sqrt{1-x}$ 展开为幂级数。利用二项式定理 $(1+u)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} u^n$，其中 $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$。令 $\alpha=1/2$，$u=-x$，得 $\sqrt{1-x} = (1-x)^{1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{1/2}{n} x^n$。

将展开式代入 $f(x)=2-2\sqrt{1-x}$，得 $f(x)=2-2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{1/2}{n} x^n$。分离常数项：$n=0$ 时，$(-1)^0\binom{1/2}{0}=1$，所以 $f(x)=2-2\left[1+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \binom{1/2}{n} x^n\right] = -2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \binom{1/2}{n} x^n$。

计算 $(-1)^n \binom{1/2}{n}$。$\binom{1/2}{n} = \frac{(1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-n+1)}{n!}$。分子有 $n$ 个因子：第一个是 $1/2$，后面 $n-1$ 个是负数：$-1/2, -3/2, \dots, -(2n-3)/2$。所以分子 $= \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{2} \cdot \frac{-3}{2} \cdots \frac{-(2n-3)}{2} = \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n}$。因此 $\binom{1/2}{n} = \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n n!}$，从而 $(-1)^n \binom{1/2}{n} = (-1)^n \cdot \frac{(-1)^{n-1} (2n-3)!!}{2^n n!} = -\frac{(2n-3)!!}{2^n n!}$。

将双阶乘 $(2n-3)!!$ 用阶乘表示。$(2n-3)!! = \frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!}$。代入得 $(-1)^n \binom{1/2}{n} = -\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!} \cdot \frac{1}{2^n n!} = -\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1} n! (n-1)!}$。

将结果代入 $f(x) = -2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \binom{1/2}{n} x^n = -2\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1} n! (n-1)!}\right) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-2} n! (n-1)!} x^n$。进一步化简系数：$\frac{(2n-2)!}{2^{2n-2} n! (n-1)!} = \frac{1}{n} \cdot \frac{(2n-2)!}{2^{2n-2} (n-1)! (n-1)!} = \frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1} \frac{1}{4^{n-1}}$。所以 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1} \frac{x^n}{4^{n-1}}$。

原积分中 $\sqrt{1-t}$ 要求 $1-t>0$，即 $t<1$，所以 $x<1$。幂级数展开式在 $|x|<1$ 内收敛，在端点 $x=1$ 处发散（因为 $\sqrt{1-x}$ 无界）。因此收敛域为 $|x|<1$。