大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} \max \{1, y\} \sin ^{2}(x y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析被积函数的结构
被积函数为 $\max\{1, y\} \sin^2(xy)$，其中 $y \in [0, \pi]$。由于 $\max\{1, y\}$ 在 $y=1$ 处分段，将积分区间分为 $[0,1]$ 和 $[1,\pi]$：
$$\int_0^\pi \max\{1, y\} \sin^2(xy) \, dy = \int_0^1 1 \cdot \sin^2(xy) \, dy + \int_1^\pi y \cdot \sin^2(xy) \, dy.$$
提示：注意分段点 $y=1$ 处函数连续，不影响积分。
步骤 2/6
目标：利用三角恒等式化简正弦平方
使用恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，则
$$\sin^2(xy) = \frac{1 - \cos(2xy)}{2}.$$
代入积分得：
$$\int_0^1 \frac{1 - \cos(2xy)}{2} \, dy + \int_1^\pi y \cdot \frac{1 - \cos(2xy)}{2} \, dy = \frac{1}{2} \left( \int_0^1 (1 - \cos(2xy)) \, dy + \int_1^\pi y (1 - \cos(2xy)) \, dy \right).$$
公式：$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 不要遗漏。
步骤 3/6
目标：将积分拆分为常数项和振荡项
将每个积分拆分为不含余弦的常数部分和含余弦的振荡部分：
$$\frac{1}{2} \left( \int_0^1 1 \, dy - \int_0^1 \cos(2xy) \, dy + \int_1^\pi y \, dy - \int_1^\pi y \cos(2xy) \, dy \right).$$
即
$$\frac{1}{2} \left( \int_0^1 1 \, dy + \int_1^\pi y \, dy \right) - \frac{1}{2} \left( \int_0^1 \cos(2xy) \, dy + \int_1^\pi y \cos(2xy) \, dy \right).$$
提示：注意符号：减去振荡项。
步骤 4/6
目标：计算常数部分的积分
常数部分与 $x$ 无关，可直接计算：
$$\int_0^1 1 \, dy = 1, \quad \int_1^\pi y \, dy = \left. \frac{y^2}{2} \right|_{y=1}^{\pi} = \frac{\pi^2 - 1}{2}.$$
因此常数部分为 $\frac{1}{2} \left(1 + \frac{\pi^2 - 1}{2}\right) = \frac{\pi^2 + 1}{4}.$
提示：计算定积分时注意上下限。
步骤 5/6
目标：分析振荡部分在 $x \to \infty$ 时的极限
考虑振荡部分 $I(x) = \int_0^1 \cos(2xy) \, dy + \int_1^\pi y \cos(2xy) \, dy$。对第一个积分：
$$\int_0^1 \cos(2xy) \, dy = \left. \frac{\sin(2xy)}{2x} \right|_{y=0}^{1} = \frac{\sin(2x)}{2x}.$$
对第二个积分，使用分部积分：
$$\int_1^\pi y \cos(2xy) \, dy = \left. \frac{y \sin(2xy)}{2x} \right|_{y=1}^{\pi} - \int_1^\pi \frac{\sin(2xy)}{2x} \, dy = \frac{\pi \sin(2\pi x) - 1 \cdot \sin(2x)}{2x} - \frac{1}{2x} \int_1^\pi \sin(2xy) \, dy.$$
其中 $\sin(2\pi x) = 0$，且 $\int_1^\pi \sin(2xy) \, dy = \left. -\frac{\cos(2xy)}{2x} \right|_{y=1}^{\pi} = \frac{\cos(2x) - \cos(2\pi x)}{2x} = \frac{\cos(2x) - 1}{2x}.$
因此
$$\int_1^\pi y \cos(2xy) \, dy = -\frac{\sin(2x)}{2x} - \frac{1}{2x} \cdot \frac{\cos(2x) - 1}{2x} = -\frac{\sin(2x)}{2x} - \frac{\cos(2x) - 1}{4x^2}.$$
于是
$$I(x) = \frac{\sin(2x)}{2x} + \left( -\frac{\sin(2x)}{2x} - \frac{\cos(2x) - 1}{4x^2} \right) = -\frac{\cos(2x) - 1}{4x^2}.$$
公式：分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意 $\sin(2\pi x)=0$ 简化计算；分部积分时注意符号。
步骤 6/6
目标：取极限得到最终结果
振荡部分乘以 $\frac{1}{2}$ 得 $-\frac{1}{2} I(x) = \frac{\cos(2x) - 1}{8x^2}$。当 $x \to \infty$ 时，$\frac{\cos(2x) - 1}{8x^2} \to 0$，因为分子有界，分母趋于无穷。因此原极限等于常数部分：
$$\lim_{x \to \infty} \int_0^\pi \max\{1, y\} \sin^2(xy) \, dy = \frac{\pi^2 + 1}{4}.$$
提示：注意振荡项趋于0，极限只由常数项贡献。
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