大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．证明： $\displaystyle \sin x>\frac{2}{\pi} x, 0<x<\frac{\pi}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并检查端点值
定义函数 $f(x) = \sin x - \frac{2}{\pi} x$，其中 $0 < x < \frac{\pi}{2}$。计算端点值：$f(0) = \sin 0 - \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$，$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} - \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1 - 1 = 0$。
提示：注意定义域是开区间，但端点值可用于分析函数在区间内的符号。
步骤 2/5
目标：求导并分析单调性
求导得 $f'(x) = \cos x - \frac{2}{\pi}$。令 $f'(x) = 0$，即 $\cos x = \frac{2}{\pi}$。由于 $\frac{2}{\pi} \approx 0.6366$，在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内存在唯一解 $x_0 = \arccos\left(\frac{2}{\pi}\right)$。
公式：$f'(x) = \cos x - \frac{2}{\pi}$
提示：注意 $\cos x$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上单调递减，因此方程 $\cos x = \frac{2}{\pi}$ 有唯一解。
步骤 3/5
目标：判断导数符号区间
当 $0 < x < x_0$ 时，$\cos x > \frac{2}{\pi}$，故 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x_0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos x < \frac{2}{\pi}$，故 $f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减。
提示：利用 $\cos x$ 的单调性判断导数符号，避免直接比较数值。
步骤 4/5
目标：确定极值点性质
因此，$x_0$ 是 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内的唯一极大值点。
提示：注意是极大值点，不是最小值点。
步骤 5/5
目标：结合端点值证明不等式
由于 $f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$，且 $f(x)$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内先增后减，故在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内 $f(x) > 0$，即 $\sin x > \frac{2}{\pi} x$。
提示：注意区间是开区间，端点值相等且内部为正，因此不等式严格成立。
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