大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)<0<f(b)$ ．证明：存在 $c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，且 $f(x)>0$ ， $x \in(c, b]$ 时。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用零点定理得到零点存在性
因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)<00$ 对 $x\in(c,b]$ 成立。因此我们需要选取特定的零点。
公式：零点定理：若 $f\in C[a,b]$ 且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。
提示：注意零点定理只保证存在一个零点，但不一定是满足后续条件的那个。
步骤 2/5
目标：定义集合 $S$ 并考虑其下确界
令 $S = \{ x \in (a,b] \mid f(x)=0 \}$。由第一步知 $S$ 非空。设 $c = \inf S$。由于 $f(a)<0$ 且 $f$ 连续，存在 $\delta>0$ 使得在 $[a,a+\delta)$ 上 $f(x)<0$，故 $c \geq a+\delta > a$。又 $f(b)>0$，由连续函数的保号性，存在 $\varepsilon>0$ 使得在 $(b-\varepsilon,b]$ 上 $f(x)>0$，故 $c \leq b-\varepsilon < b$。因此 $c \in (a,b)$。
公式：连续函数的保号性：若 $f(x_0)>0$，则存在邻域使 $f(x)>0$。
提示：下确界可能不在集合中，但这里 $c$ 是 $S$ 的下确界，需要证明 $c$ 本身是零点。
步骤 3/5
目标：证明 $c$ 是零点
由 $c$ 的定义，存在 $S$ 中的点列 $x_n \to c$（因为 $c$ 是下确界），且 $f(x_n)=0$。由 $f$ 的连续性，$f(c)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0$。因此 $c\in S$，即 $c$ 是 $S$ 中的最小零点。
公式：函数连续性：若 $x_n\to c$，则 $f(x_n)\to f(c)$。
提示：注意这里 $c$ 是下确界，但需要证明极限点属于 $S$，这依赖于连续性。
步骤 4/5
目标：证明在 $(c,b]$ 上 $f(x)>0$
反证法：假设存在 $x_0\in(c,b]$ 使得 $f(x_0)\leq 0$。由于 $f(c)=0$，若 $f(x_0)<0$，则 $f(c)=0$ 与 $f(x_0)<0$ 之间由零点定理存在零点，但 $c$ 是 $S$ 的下确界，矛盾。若 $f(x_0)=0$，则 $x_0\in S$，但 $x_0>c$，与 $c$ 是 $S$ 的下确界矛盾（因为下确界是最小零点）。因此假设不成立，故对所有 $x\in(c,b]$，$f(x)>0$。
公式：零点定理的推论：若 $f$ 连续且 $f(c)=0$，$f(x_0)<0$，则 $(c,x_0)$ 内存在零点。
提示：注意反证法要分 $f(x_0)<0$ 和 $f(x_0)=0$ 两种情况讨论。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，我们找到了 $c\in(a,b)$ 使得 $f(c)=0$，并且对任意 $x\in(c,b]$ 有 $f(x)>0$。证毕。
提示：最终结论要明确 $c$ 是 $S$ 的下确界，从而保证其最小性。
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