大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 为区域，$u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 上连续可微，且在 $D$ 上满足
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}, u^{2}(x, y)+v^{2}(x, y)=2026
$$
证明：$u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 上是常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别柯西-黎曼方程
已知条件：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。这正是柯西-黎曼方程，因此函数 $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ 在区域 $D$ 上解析，其中 $z = x + iy$。
公式：柯西-黎曼方程：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
提示：注意柯西-黎曼方程是复变函数解析的必要条件，但这里由于函数连续可微，也是充分条件。
步骤 2/4
目标：利用模平方条件
已知 $u^2(x,y) + v^2(x,y) = 2026$，即 $|f(z)|^2 = 2026$，所以 $|f(z)| = \sqrt{2026}$ 是常数。
公式：$|f(z)|^2 = u^2 + v^2 = 2026$
提示：注意模是常数，但函数本身不一定常数，需要进一步推理。
步骤 3/4
目标：应用最大模原理
最大模原理：若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析且非常数，则 $|f(z)|$ 在 $D$ 内不能取到最大值。但这里 $|f(z)|$ 恒等于常数 $\sqrt{2026}$，即它在 $D$ 内处处取到最大值。因此 $f(z)$ 必须是常数函数。
公式：最大模原理
提示：注意最大模原理要求区域是连通的，这里 $D$ 是区域，满足条件。
步骤 4/4
目标：推导 $u$ 和 $v$ 为常数
由于 $f(z) = u + iv$ 是常数，其实部 $u$ 和虚部 $v$ 均为常数函数。因此 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $D$ 上是常数。
提示：注意常数函数意味着 $u$ 和 $v$ 分别取固定值，不依赖于 $x,y$。
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