大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．定义 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \cos \frac{1}{t} \mathrm{~d} t, x \in \mathbb{R}$ ，证明：$f(x)$ 在 $x=0$ 可导，且 $f^{\prime}(0)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出导数定义
由导数定义，$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt$，因为$f(0)=0$。
公式：$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt$
提示：注意$f(0)=0$，不要忘记。
步骤 2/6
目标：变量代换化简积分
考虑$h>0$，令$u=1/t$，则$t=1/u$，$dt=-du/u^2$，积分限：$t=0$对应$u=+\infty$，$t=h$对应$u=1/h$。于是$\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt = \int_{+\infty}^{1/h}\cos u\cdot(-\frac{du}{u^2}) = \int_{1/h}^{+\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$。因此$\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{h}\int_{1/h}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$。
公式：$\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{h}\int_{1/h}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$
提示：注意积分限变换时方向改变，需正确处理。
步骤 3/6
目标：换元简化表达式
令$x=1/h$，则$h=1/x$，当$h\to 0^+$时$x\to +\infty$，上式化为$x\int_{x}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$。
公式：$\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt = x\int_{x}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$
提示：注意$x$与$h$的关系，$x$趋于无穷大。
步骤 4/6
目标：分部积分处理积分
对积分$\int_{x}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$分部积分：令$dv=\cos u\,du$，$v=\sin u$，$u=1/u^2$，$du=-2/u^3\,du$。得$\int_{x}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du = \left[\frac{\sin u}{u^2}\right]_{x}^{\infty} - \int_{x}^{\infty}\sin u\cdot(-\frac{2}{u^3})\,du = -\frac{\sin x}{x^2} + 2\int_{x}^{\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,du$。
公式：$\int_{x}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du = -\frac{\sin x}{x^2} + 2\int_{x}^{\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,du$
提示：分部积分时注意符号和边界项的处理。
步骤 5/6
目标：代入并估计极限
代入得$x\int_{x}^{\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du = -\frac{\sin x}{x} + 2x\int_{x}^{\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,du$。当$x\to\infty$时，$\frac{\sin x}{x}\to 0$。而$\left|2x\int_{x}^{\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,du\right| \le 2x\int_{x}^{\infty}\frac{1}{u^3}\,du = 2x\cdot\frac{1}{2x^2} = \frac{1}{x}\to 0$。因此极限为0。
公式：$\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{\sin x}{x} + 2x\int_{x}^{\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,du\right)=0$
提示：利用绝对值不等式估计积分，注意$|\sin u|\le 1$。
步骤 6/6
目标：处理h<0情形
对于$h<0$，类似地令$u=1/t$，可得$\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\cos\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{h}\int_{1/h}^{-\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,du$，通过类似变换和分部积分可得极限也为0。因此左右极限均为0，故$f'(0)=0$。
提示：注意$h<0$时积分限方向，但最终结果一致。
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