大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，定义
$$
f_{n}(x)=\frac{1}{a_{n}} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\left(\cos \frac{t-x}{2}\right)^{2 n} \mathrm{~d} t, x \in \mathbb{R}, n=1,2,3, \cdots
$$
其中 $\displaystyle a_{n}=\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2 n}\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义核函数并化简表达式
定义核函数 $K_n(u) = \frac{1}{a_n} \cos^{2n}\left(\frac{u}{2}\right)$，其中 $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^{2n}\left(\frac{x}{2}\right) dx$。则 $f_n(x) = \frac{1}{a_n} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos^{2n}\left(\frac{t-x}{2}\right) dt$。作变量替换 $u = t-x$，利用 $f$ 的周期性和 $K_n$ 的偶函数性质，得 $f_n(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x+u) K_n(u) du$。
公式：f_n(x) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x+u) K_n(u) du
提示：注意积分限在变量替换后仍为 $[-\pi,\pi]$，因为 $f$ 以 $2\pi$ 为周期且 $K_n$ 是偶函数。
步骤 2/6
目标：验证核函数的性质
核函数 $K_n(u)$ 满足：
1. $K_n(u) \ge 0$（因为余弦函数非负）；
2. $\int_{-\pi}^{\pi} K_n(u) du = 1$（由 $a_n$ 定义）；
3. 对任意 $\delta > 0$，$\lim_{n\to\infty} \sup_{\delta \le |u| \le \pi} K_n(u) = 0$。
性质3的证明：当 $|u| \ge \delta$ 时，$|\cos(u/2)| \le \cos(\delta/2) < 1$，故 $\cos^{2n}(u/2) \le \cos^{2n}(\delta/2)$。而 $a_n \sim \sqrt{\frac{2\pi}{n}}$（利用Beta函数），因此 $\frac{1}{a_n} \sim \sqrt{\frac{n}{2\pi}}$，从而 $\sup_{|u|\ge \delta} K_n(u) \le \frac{\cos^{2n}(\delta/2)}{a_n} \to 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{\delta \le |u| \le \pi} K_n(u) = 0
提示：性质3的严格证明需要用到 $a_n$ 的渐近估计，可借助Beta函数或Wallis公式。
步骤 3/6
目标：利用一致连续性控制小邻域内的误差
由于 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续（因为周期连续函数在闭区间上一致连续，从而在整个实数轴上一致连续），对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|u| < \delta$ 时，$|f(x+u) - f(x)| < \varepsilon$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立。
公式：|f(x+u) - f(x)| < \varepsilon, \quad \forall x \in \mathbb{R}, |u| < \delta
提示：周期连续函数在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，这是关键性质。
步骤 4/6
目标：分解积分并估计误差
将 $|f_n(x) - f(x)|$ 的积分分为两部分：$|u| < \delta$ 和 $\delta \le |u| \le \pi$。
对于 $|u| < \delta$ 部分：$\int_{-\delta}^{\delta} |f(x+u)-f(x)| K_n(u) du \le \varepsilon \int_{-\delta}^{\delta} K_n(u) du \le \varepsilon$。
对于 $\delta \le |u| \le \pi$ 部分：$|f(x+u)-f(x)| \le 2M$，其中 $M = \sup_{x\in\mathbb{R}} |f(x)|$，则 $\int_{\delta \le |u| \le \pi} |f(x+u)-f(x)| K_n(u) du \le 2M \int_{\delta \le |u| \le \pi} K_n(u) du$。
公式：|f_n(x) - f(x)| \le \varepsilon + 2M \int_{\delta \le |u| \le \pi} K_n(u) du
提示：注意 $\int_{-\delta}^{\delta} K_n(u) du \le 1$，因为核函数积分为1。
步骤 5/6
目标：利用核函数性质控制尾部积分
由核函数性质3，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\sup_{|u|\ge \delta} K_n(u) < \frac{\varepsilon}{4M\pi}$，从而 $\int_{\delta \le |u| \le \pi} K_n(u) du \le 2\pi \sup_{|u|\ge \delta} K_n(u) < \frac{\varepsilon}{2M}$。因此，当 $n > N$ 时，对任意 $x$，有 $|f_n(x) - f(x)| \le \varepsilon + 2M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = 2\varepsilon$。
公式：\int_{\delta \le |u| \le \pi} K_n(u) du \le 2\pi \sup_{|u|\ge \delta} K_n(u)
提示：注意 $\sup$ 的估计要乘以区间长度 $2\pi$。
步骤 6/6
目标：结论：一致收敛
由 $\varepsilon$ 的任意性，$\{f_n(x)\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f(x)$。
提示：一致收敛要求 $N$ 与 $x$ 无关，这里 $N$ 仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $\delta$，而 $\delta$ 由一致连续性得到，与 $x$ 无关，因此满足一致收敛条件。
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