大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负递减，且 $\int_{1}^{+\infty} x^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{a+1} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用积分收敛性得到不等式
由于 $\int_1^{+\infty} x^a f(x) \, dx$ 收敛，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 1$，使得当 $x > A$ 时，有 $\int_x^{+\infty} t^a f(t) \, dt < \varepsilon$。特别地，$\int_x^{2x} t^a f(t) \, dt < \varepsilon$。
公式：$\int_x^{+\infty} t^a f(t) \, dt < \varepsilon$
提示：注意积分限从 $x$ 到 $2x$，这是为了后续利用单调性放缩。
步骤 2/6
目标：利用单调性放缩被积函数
因为 $f(x)$ 非负递减，所以对任意 $t \in [x, 2x]$，有 $f(t) \ge f(2x)$。于是 $\int_x^{2x} t^a f(t) \, dt \ge f(2x) \int_x^{2x} t^a \, dt$。
公式：$f(t) \ge f(2x)$ 对于 $t \in [x, 2x]$
提示：递减性保证 $f(t)$ 在区间左端最大，右端最小，这里用最小值放缩。
步骤 3/6
目标：计算积分 $\int_x^{2x} t^a \, dt$
当 $a \neq -1$ 时，$\int_x^{2x} t^a \, dt = \frac{(2x)^{a+1} - x^{a+1}}{a+1} = \frac{x^{a+1}(2^{a+1} - 1)}{a+1}$。当 $a = -1$ 时，$\int_x^{2x} t^{-1} \, dt = \ln(2x) - \ln x = \ln 2$。
公式：$\int_x^{2x} t^a \, dt = \begin{cases} \frac{x^{a+1}(2^{a+1} - 1)}{a+1}, & a \neq -1 \\ \ln 2, & a = -1 \end{cases}$
提示：注意 $a=-1$ 是特殊情况，需单独处理。
步骤 4/6
目标：结合不等式得到 $f(2x)$ 的上界
当 $a \neq -1$ 时，有 $f(2x) \cdot \frac{x^{a+1}(2^{a+1} - 1)}{a+1} < \varepsilon$，即 $f(2x) < \frac{(a+1)\varepsilon}{x^{a+1}(2^{a+1} - 1)}$。两边乘以 $(2x)^{a+1}$ 得 $(2x)^{a+1} f(2x) < \frac{2^{a+1}(a+1)}{2^{a+1} - 1} \varepsilon$。
公式：$(2x)^{a+1} f(2x) < \frac{2^{a+1}(a+1)}{2^{a+1} - 1} \varepsilon$
提示：注意 $a+1$ 的符号？实际上 $a$ 可以是任意实数，但积分收敛隐含 $a+1$ 可能为负，但不等式方向不变。
步骤 5/6
目标：处理 $a=-1$ 的情况
当 $a = -1$ 时，有 $f(2x) \ln 2 < \varepsilon$，即 $f(2x) < \frac{\varepsilon}{\ln 2}$。此时 $x^{a+1} = x^0 = 1$，所以 $(2x)^{0} f(2x) = f(2x) < \frac{\varepsilon}{\ln 2}$。
公式：$f(2x) < \frac{\varepsilon}{\ln 2}$
提示：注意 $a=-1$ 时 $x^{a+1}=1$，结论变为 $\lim f(x)=0$。
步骤 6/6
目标：由 $\varepsilon$ 的任意性得到极限为0
由于 $\varepsilon$ 任意小，且常数 $\frac{2^{a+1}(a+1)}{2^{a+1} - 1}$（$a \neq -1$）或 $\frac{1}{\ln 2}$（$a=-1$）是固定的，因此对任意 $a$，有 $\lim_{x \to +\infty} x^{a+1} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} x^{a+1} f(x) = 0$
提示：注意极限中的变量是 $x$，$a$ 是常数。
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