大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．计算曲线积分
$$
\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中曲线 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 与三坐标轴的交线，它的定向使得球面的上侧在曲线左侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析曲线L的几何形状与定向
曲线L是球面$x^2+y^2+z^2=1$在第一卦限与坐标面的交线，由三条圆弧组成：$L_1$: $y=0$, $z=\sqrt{1-x^2}$, $x$从0到1；$L_2$: $z=0$, $x=\sqrt{1-y^2}$, $y$从0到1；$L_3$: $x=0$, $y=\sqrt{1-z^2}$, $z$从0到1。定向使得球面上侧在曲线左侧，即沿L的方向为从x轴正向到y轴正向再到z轴正向，最后回到x轴正向。
提示：注意定向与坐标轴正向的关系，确保曲线闭合且方向一致。
步骤 2/5
目标：应用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分
设$\Sigma$为球面$x^2+y^2+z^2=1$在第一卦限的部分，取上侧（法向量指向球外）。由斯托克斯公式：
$$\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_\Sigma \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\,dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dz\,dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy,$$
其中$P=y^2+z^2$, $Q=z^2+x^2$, $R=x^2+y^2$。
公式：斯托克斯公式
提示：注意曲面定向与曲线定向的右手法则，确保符号正确。
步骤 3/5
目标：计算偏导数并代入斯托克斯公式
计算偏导数：
$$\frac{\partial R}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=2z,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=2z,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2y.$$
于是
$$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2y-2z,\quad \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2z-2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-2y.$$
所以曲线积分转化为
$$\iint_\Sigma (2y-2z)\,dy\,dz + (2z-2x)\,dz\,dx + (2x-2y)\,dx\,dy.$$
提示：偏导数计算要仔细，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：利用曲面法向量将曲面积分转化为第一类曲面积分
由于$\Sigma$是球面，法向量为$(x,y,z)$，且指向球外。对于上侧曲面，有$dy\,dz = x\,dS$, $dz\,dx = y\,dS$, $dx\,dy = z\,dS$（因为$x,y,z>0$）。代入得：
$$\iint_\Sigma 2(y-z)x\,dS + 2(z-x)y\,dS + 2(x-y)z\,dS = \iint_\Sigma 2\left[(y-z)x + (z-x)y + (x-y)z\right]\,dS.$$
公式：曲面积分投影关系：$dy\,dz = x\,dS$等
提示：注意方向余弦的符号：由于曲面取上侧且法向量指向球外，$x,y,z$均为正，故投影关系为正。
步骤 5/5
目标：化简被积函数并计算曲面积分
展开括号：
$$(y-z)x + (z-x)y + (x-y)z = xy - xz + yz - xy + xz - yz = 0.$$
因此被积函数为0，曲面积分为0。所以原曲线积分为0。
提示：代数化简要仔细，避免计算错误。
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