大连理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $a>0, b>0$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(a^{2}+x^{2}\right)}{b^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入含参积分并求导
令 $I(a,b)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(a^2+x^2)}{b^2+x^2} dx$，其中 $a>0,b>0$。考虑对参数 $a$ 求导：
$$\frac{\partial I}{\partial a} = \int_{0}^{+\infty} \frac{2a}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)} dx.$$
公式：含参积分求导公式：$\frac{d}{da}\int f(x,a)dx = \int \frac{\partial f}{\partial a} dx$
提示：注意积分与求导交换次序的条件：被积函数及其偏导数连续且积分一致收敛。
步骤 2/7
目标：部分分式分解被积函数
利用部分分式分解：
$$\frac{2a}{(a^2+x^2)(b^2+x^2)} = \frac{2a}{b^2-a^2}\left(\frac{1}{a^2+x^2} - \frac{1}{b^2+x^2}\right).$$
公式：部分分式分解公式：$\frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)} = \frac{1}{b^2-a^2}\left(\frac{1}{x^2+a^2} - \frac{1}{x^2+b^2}\right)$
提示：注意 $a \neq b$ 的情况，若 $a=b$ 需单独处理，但此处 $a,b>0$ 且一般不同，最终结果连续可延拓。
步骤 3/7
目标：计算积分得到导数表达式
代入分解式并积分：
$$\frac{\partial I}{\partial a} = \frac{2a}{b^2-a^2} \int_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{a^2+x^2} - \frac{1}{b^2+x^2}\right) dx.$$
利用已知积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{c^2+x^2} = \frac{\pi}{2c}$，得：
$$\frac{\partial I}{\partial a} = \frac{2a}{b^2-a^2} \left( \frac{\pi}{2a} - \frac{\pi}{2b} \right) = \frac{\pi}{b(a+b)}.$$
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{c^2+x^2} = \frac{\pi}{2c}$
提示：计算时注意化简：$\frac{2a}{b^2-a^2} \cdot \frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) = \frac{\pi a}{b^2-a^2}\cdot\frac{b-a}{ab} = \frac{\pi}{b(a+b)}$。
步骤 4/7
目标：对a积分得到I的表达式
对 $\frac{\partial I}{\partial a} = \frac{\pi}{b(a+b)}$ 关于 $a$ 积分：
$$I(a,b) = \frac{\pi}{b} \ln(a+b) + C(b),$$
其中 $C(b)$ 是仅依赖于 $b$ 的函数。
公式：$\int \frac{da}{a+b} = \ln(a+b) + C$
提示：积分常数 $C(b)$ 需通过边界条件确定。
步骤 5/7
目标：确定常数C(b)（令a=0）
令 $a=0$，则原积分变为：
$$I(0,b) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(x^2)}{b^2+x^2} dx = 2\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{b^2+x^2} dx.$$
已知 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{c^2+x^2} dx = \frac{\pi \ln c}{2c}$，所以
$$I(0,b) = 2 \cdot \frac{\pi \ln b}{2b} = \frac{\pi \ln b}{b}.$$
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{c^2+x^2} dx = \frac{\pi \ln c}{2c}$
提示：该公式可通过留数定理或对称性推导，注意 $\ln x$ 在0处可积。
步骤 6/7
目标：比较得到C(b)=0
另一方面，由 $I(a,b) = \frac{\pi}{b} \ln(a+b) + C(b)$，令 $a=0$ 得：
$$I(0,b) = \frac{\pi}{b} \ln b + C(b).$$
与上一步结果 $I(0,b) = \frac{\pi \ln b}{b}$ 比较，得 $C(b)=0$。
提示：注意 $\ln(0+b)=\ln b$，因此 $C(b)=0$。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，
$$I(a,b) = \frac{\pi}{b} \ln(a+b).$$
即
$$\boxed{\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(a^2+x^2)}{b^2+x^2} dx = \frac{\pi}{b} \ln(a+b)}.$$
提示：结果对 $a>0,b>0$ 成立，且可延拓至 $a=0$ 或 $b=0$ 的极限情况。
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