安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
一，（18 分）求：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算分子和分母的求和公式
首先，利用已知公式：$1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$，以及 $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，因此分母 $(1+2+\cdots+n)^2 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$。
公式：$\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$，$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意立方和公式与等差数列求和公式的区别，不要混淆。
步骤 2/8
目标：化简极限表达式
将分子和分母代入极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2}{\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1$。
提示：分子分母完全相同，直接约分得1，无需展开。
步骤 3/8
目标：写出第一问答案
因此，第一问的极限值为 $1$。
步骤 4/8
目标：识别第二问极限形式并应用洛必达法则
第二问极限为 $\lim_{x\to a} \frac{x^a - a^x}{x-a}$，当 $x\to a$ 时，分子 $x^a - a^x \to a^a - a^a = 0$，分母 $x-a \to 0$，满足 $\frac{0}{0}$ 型，可使用洛必达法则。
公式：洛必达法则：若 $\lim_{x\to a} f(x)=0$，$\lim_{x\to a} g(x)=0$，且 $g'(x)\neq 0$，则 $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
提示：使用洛必达前需验证是否为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
步骤 5/8
目标：求分子导数
令 $f(x)=x^a - a^x$，则 $f'(x)=a x^{a-1} - a^x \ln a$。注意 $a$ 为常数，$x^a$ 的导数为 $a x^{a-1}$，$a^x$ 的导数为 $a^x \ln a$。
公式：$\frac{d}{dx} x^a = a x^{a-1}$，$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$
提示：注意 $a^x$ 的导数公式与 $x^a$ 不同，不要混淆。
步骤 6/8
目标：求分母导数并代入极限
分母 $g(x)=x-a$，则 $g'(x)=1$。由洛必达法则，原极限等于 $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to a} (a x^{a-1} - a^x \ln a)$。
提示：分母导数简单，注意不要遗漏。
步骤 7/8
目标：代入 $x=a$ 计算极限值
将 $x=a$ 代入：$a \cdot a^{a-1} - a^a \ln a = a^a - a^a \ln a = a^a (1 - \ln a)$。
提示：注意 $a \cdot a^{a-1} = a^a$，合并同类项。
步骤 8/8
目标：写出第二问答案
因此，第二问的极限值为 $a^a (1 - \ln a)$。
提示：最终结果需化简为最简形式。
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