安徽师范大学 2014年数学分析第0题

函数 $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 中，底数 $1+\frac{1}{x}$ 必须大于0且 $x$ 不能为0。解 $1+\frac{1}{x}>0$ 得 $x<-1$ 或 $x>0$，因此定义域为 $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$。

由于 $f(x)>0$，取自然对数：$\ln f(x) = x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$。两边对 $x$ 求导得： $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + x \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}.$$ 令 $g(x) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}$，则 $f'(x) = f(x) g(x)$。由于 $f(x)>0$，$f'(x)$ 的符号由 $g(x)$ 决定。

对 $g(x)$ 求导： $$g'(x) = \frac{-1/x^2}{1+1/x} + \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)^2}.$$ 当 $x>0$ 时，$x(x+1)^2>0$，故 $g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；当 $x<-1$ 时，$x<0$，$(x+1)^2>0$，$x(x+1)^2<0$，因此 $-\frac{1}{x(x+1)^2}>0$？注意：$x$ 为负，$x(x+1)^2$ 为负，所以 $g'(x) = -\frac{1}{\text{负数}} = \text{正数}$？重新计算：$g'(x) = -\frac{1}{x(x+1)^2}$，当 $x<-1$ 时，$x<0$，$(x+1)^2>0$，所以 $x(x+1)^2<0$，则 $-\frac{1}{x(x+1)^2} = -\frac{1}{\text{负数}} = \text{正数}$，因此 $g'(x)>0$？但之前答案说 $g'(x)<0$，矛盾。检查：$g(x) = \ln(1+1/x) - 1/(x+1)$，求导：$g'(x) = \frac{-1/x^2}{1+1/x} + \frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{- (x+1) + x}{x(x+1)^2} = \frac{-1}{x(x+1)^2}$。当 $x<-1$ 时，$x<0$，$x+1<0$，$(x+1)^2>0$，$x(x+1)^2$ 为负（负乘正得负），所以 $-\frac{1}{\text{负}} = \text{正}$，即 $g'(x)>0$。但原答案说 $g'(x)<0$，可能是笔误。实际上，$g(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。但后续极限分析需要调整。

计算各边界极限： $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}\right) = +\infty,$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \ln 1 - 0 = 0,$$ $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = \ln 1 - 0 = 0,$$ $$\lim_{x \to -1^-} g(x) = \lim_{x \to -1^-} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}\right) = -\infty.$$ 注意：当 $x \to -1^-$ 时，$1+1/x \to 0^+$，$\ln(1+1/x) \to -\infty$，而 $1/(x+1) \to -\infty$，但前者更快，故整体趋于 $-\infty$。

由单调性和极限：在 $(0,+\infty)$ 上，$g(x)$ 单调递减，且 $\lim_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$，$\lim_{x\to +\infty} g(x)=0$，因此 $g(x)>0$ 对所有 $x>0$ 成立。在 $(-\infty,-1)$ 上，$g(x)$ 单调递增（因为 $g'(x)>0$），且 $\lim_{x\to -\infty} g(x)=0$，$\lim_{x\to -1^-} g(x)=-\infty$，因此 $g(x)<0$ 对所有 $x<-1$ 成立。

由于 $f'(x)=f(x)g(x)$ 且 $f(x)>0$，$f'(x)$ 的符号与 $g(x)$ 相同。因此： - 在 $(-\infty,-1)$ 上，$g(x)<0$，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； - 在 $(0,+\infty)$ 上，$g(x)>0$，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

函数 $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 的单调递减区间为 $(-\infty,-1)$，单调递增区间为 $(0,+\infty)$。