安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
三，（10 分）求数列 $\displaystyle 1, \frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1+\frac{1}{3}, \frac{1}{2}+\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 1+\frac{1}{4}, \frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots$ 的聚点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解数列的构造规律
观察数列：$1, \frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1+\frac{1}{3}, \frac{1}{2}+\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 1+\frac{1}{4}, \frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots$。可见，数列按分母 $n=2,3,4,\ldots$ 分组：对于每个 $n$，先列出 $\frac{1}{n}$，然后列出 $1+\frac{1}{n}, \frac{1}{2}+\frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}$。因此，数列的项由所有形如 $\frac{1}{n}$ 和 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$（$m
提示：注意数列的排列顺序：先按分母 $n$ 从小到大，每个 $n$ 内先列出 $\frac{1}{n}$，再列出 $1+\frac{1}{n}, \frac{1}{2}+\frac{1}{n}, \ldots$。
步骤 2/6
目标：分析每个数出现的次数
对于固定的 $n$，$\frac{1}{n}$ 只出现在分母为 $n$ 的那一组中一次。但形如 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的数，当 $mk$）收敛到 $\frac{1}{k}$。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{k}
提示：注意：$\frac{1}{k}$ 本身在数列中只出现一次，但可以通过其他项逼近，所以是聚点。
步骤 3/6
目标：找出所有可能的聚点
考虑数列中所有可能的极限点。首先，数列中的项都是正数，且 $\frac{1}{n}\to 0$，所以 $0$ 是一个聚点。其次，对于每个正整数 $k$，数列包含形如 $\frac{1}{k}+\frac{1}{n}$（$n>k$）的项，当 $n\to\infty$ 时趋于 $\frac{1}{k}$，所以 $\frac{1}{k}$ 是聚点。另外，$1$ 也是聚点（$k=1$ 的情况）。此外，还有没有其他聚点？例如，两个单位分数之和 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 本身，当 $m,n$ 固定时，它只是一个孤立点，不是聚点，因为附近没有其他项。但考虑 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 当 $n\to\infty$ 时趋于 $\frac{1}{m}$，所以 $\frac{1}{m}$ 已经被包含。因此，所有聚点就是 $0$ 和所有 $\frac{1}{k}$（$k\in\mathbb{N}^+$）。
提示：注意：两个单位分数之和本身不是聚点，因为它们是孤立点，但它们的极限点才是聚点。
步骤 4/6
目标：证明这些点确实是聚点
对于 $0$：取子列 $\frac{1}{n}$，当 $n\to\infty$ 时趋于 $0$。对于每个 $\frac{1}{k}$：取子列 $\frac{1}{k}+\frac{1}{n}$（$n>k$），当 $n\to\infty$ 时趋于 $\frac{1}{k}$。这些子列都在原数列中，因此 $0$ 和 $\frac{1}{k}$ 都是聚点。
提示：确保子列中的项确实在原数列中：$\frac{1}{k}+\frac{1}{n}$ 出现在分母为 $n$ 的组中，且 $n>k$，所以存在。
步骤 5/6
目标：证明没有其他聚点
假设 $x$ 是一个聚点，且 $x\neq 0$ 且 $x\neq \frac{1}{k}$ 对任意 $k$。由于数列中的项都是形如 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$（$m\leq n$，其中 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 当 $m=n$ 时理解为 $\frac{2}{n}$？注意数列中并没有 $\frac{1}{m}+\frac{1}{m}$ 的形式，因为 $m0$，如果 $x$ 不是 $\frac{1}{k}$ 的形式，那么存在 $\epsilon>0$ 使得 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ 内只包含有限个形如 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的数，因为当 $m,n$ 很大时，这些和很小，而 $x$ 固定，所以只有有限个 $m,n$ 使得和接近 $x$。因此 $x$ 不是聚点。严格证明：对于任意 $x>0$，若 $x\neq \frac{1}{k}$，则存在 $\delta>0$ 使得区间 $(x-\delta, x+\delta)$ 内至多包含有限个数列中的项（因为数列中的项都是形如 $\frac{1}{n}$ 或 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$，且当 $m,n$ 充分大时，这些项小于 $x/2$，所以只有有限个 $m,n$ 可能落在该区间内）。因此 $x$ 不是聚点。
提示：注意：数列中不包含 $\frac{1}{m}+\frac{1}{m}$ 的形式，所以 $\frac{2}{n}$ 不会出现，除非 $n=2$ 时 $1$ 是 $\frac{2}{2}$，但 $1$ 已经作为 $\frac{1}{1}$ 被包含。
步骤 6/6
目标：总结聚点集合
综上，数列的聚点集合为 $\{0\}\cup\{\frac{1}{n}: n\in\mathbb{N}^+\}$。
提示：注意：$\mathbb{N}^+$ 表示正整数，包括 $1$。
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