安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
九，（12 分）求椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的切线与坐标轴所围三角形面积的最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设椭圆上一点并写出切线方程
设椭圆上一点为 $(x_0, y_0)$，则该点处的切线方程为 $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$。
公式：椭圆切线方程：$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$
提示：注意切线方程的形式，不要与椭圆方程混淆。
步骤 2/6
目标：求切线与坐标轴的交点
令 $y=0$，得 $x = \frac{a^2}{x_0}$；令 $x=0$，得 $y = \frac{b^2}{y_0}$。因此切线与 $x$ 轴交点为 $(\frac{a^2}{x_0}, 0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0, \frac{b^2}{y_0})$。
提示：注意 $x_0$ 和 $y_0$ 可能为负，但面积用绝对值。
步骤 3/6
目标：计算三角形面积表达式
三角形面积 $S = \frac{1}{2} \left| \frac{a^2}{x_0} \cdot \frac{b^2}{y_0} \right| = \frac{a^2 b^2}{2|x_0 y_0|}$。
公式：三角形面积公式：$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$
提示：注意取绝对值，因为 $x_0$ 和 $y_0$ 可能异号。
步骤 4/6
目标：利用椭圆方程和均值不等式求 $|x_0 y_0|$ 的最大值
由椭圆方程 $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1$，应用均值不等式：$1 = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} \geq 2 \sqrt{\frac{x_0^2 y_0^2}{a^2 b^2}} = \frac{2|x_0 y_0|}{ab}$，所以 $|x_0 y_0| \leq \frac{ab}{2}$。
公式：均值不等式：$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$
提示：注意等号成立条件：$\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2}$。
步骤 5/6
目标：确定等号成立条件
等号成立当且仅当 $\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{1}{2}$，即 $|x_0| = \frac{a}{\sqrt{2}}, |y_0| = \frac{b}{\sqrt{2}}$。
提示：注意 $x_0$ 和 $y_0$ 的符号不影响面积，取绝对值即可。
步骤 6/6
目标：求三角形面积的最小值
由 $S = \frac{a^2 b^2}{2|x_0 y_0|}$ 及 $|x_0 y_0| \leq \frac{ab}{2}$，得 $S \geq \frac{a^2 b^2}{2 \cdot \frac{ab}{2}} = ab$。因此三角形面积的最小值为 $ab$。
提示：注意不等式方向：分母越大，分数越小，所以 $|x_0 y_0|$ 最大时 $S$ 最小。
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