安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1+(-1)^{n}}{2014}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分类讨论奇偶项
由于 $(-1)^n$ 的取值依赖于 $n$ 的奇偶性，将 $n$ 分为奇数和偶数两种情况。当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，则 $x_n = -\frac{1}{n} + \frac{1-1}{2014} = -\frac{1}{n}$。当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，则 $x_n = \frac{1}{n} + \frac{1+1}{2014} = \frac{1}{n} + \frac{2}{2014} = \frac{1}{n} + \frac{1}{1007}$。
提示：注意 $\frac{2}{2014}$ 化简为 $\frac{1}{1007}$，避免计算错误。
步骤 2/7
目标：写出奇偶子列通项
令 $k=1,2,\ldots$，则奇数项 $x_{2k-1} = -\frac{1}{2k-1}$，偶数项 $x_{2k} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{1007}$。
提示：注意下标转换：$n=2k-1$ 为奇数，$n=2k$ 为偶数。
步骤 3/7
目标：求下确界 $\inf\{x_n\}$
奇数项均为负数，且 $x_{2k-1} = -\frac{1}{2k-1}$ 随 $k$ 增大而单调递增（从 $-1$ 趋于 $0$），最小值为 $k=1$ 时的 $x_1 = -1$。偶数项均为正数，且 $x_{2k} = \frac{1}{2k} + \frac{1}{1007}$ 随 $k$ 增大而单调递减（从 $\frac{1}{2}+\frac{1}{1007}$ 趋于 $\frac{1}{1007}$），最小值趋于 $\frac{1}{1007}$，但大于 $0$。因此整个数列的最小值为 $-1$，故 $\inf\{x_n\} = -1$。
提示：下确界是数列的最小值（如果存在），注意奇数项单调性。
步骤 4/7
目标：求上确界 $\sup\{x_n\}$
偶数项的最大值为 $k=1$ 时 $x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{1007} = \frac{1007+2}{2014} = \frac{1009}{2014}$。奇数项的最大值出现在 $k\to\infty$ 时趋近于 $0$，但 $0$ 小于 $\frac{1009}{2014}$。因此整个数列的最大值为 $\frac{1009}{2014}$，故 $\sup\{x_n\} = \frac{1009}{2014}$。
提示：上确界是数列的最大值（如果存在），注意比较奇偶项的最大值。
步骤 5/7
目标：求下极限 $\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n$
下极限是所有子列极限的最小值。奇数项极限：$\lim_{k\to\infty} -\frac{1}{2k-1} = 0$。偶数项极限：$\lim_{k\to\infty} \left(\frac{1}{2k} + \frac{1}{1007}\right) = \frac{1}{1007}$。因此 $\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n = \min\{0, \frac{1}{1007}\} = 0$。
提示：下极限是子列极限的最小值，不是数列的最小值。
步骤 6/7
目标：求上极限 $\overline{\lim}_{n\to\infty} x_n$
上极限是所有子列极限的最大值。奇数项极限为 $0$，偶数项极限为 $\frac{1}{1007}$。因此 $\overline{\lim}_{n\to\infty} x_n = \max\{0, \frac{1}{1007}\} = \frac{1}{1007}$。
提示：上极限是子列极限的最大值，不是数列的最大值。
步骤 7/7
目标：汇总结果
综上，$\inf\{x_n\} = -1$，$\sup\{x_n\} = \frac{1009}{2014}$，$\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n = 0$，$\overline{\lim}_{n\to\infty} x_n = \frac{1}{1007}$。
提示：注意区分下确界与下极限、上确界与上极限。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。