安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
五，（10 分）考察函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2014}+x^{2} e^{n x}}{2014+e^{n x}}$ 的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析极限表达式，根据x的符号分类讨论
考虑极限 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{x^{2014}+x^{2} e^{n x}}{2014+e^{n x}}$。由于 $e^{nx}$ 的极限行为依赖于 $x$ 的符号，需要分三种情况：$x>0$，$x=0$，$x<0$。
提示：注意 $e^{nx}$ 当 $x>0$ 时趋于无穷，当 $x<0$ 时趋于0，当 $x=0$ 时为常数1。
步骤 2/7
目标：计算 x>0 时的极限
当 $x>0$ 时，$e^{nx}\to\infty$，分子分母同除以 $e^{nx}$：
$$f(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{x^{2014}e^{-nx}+x^{2}}{2014e^{-nx}+1} = \frac{0+x^{2}}{0+1}=x^{2}.$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} e^{-nx}=0 \quad (x>0)$$
提示：分子分母同除以 $e^{nx}$ 是处理无穷大比无穷大极限的常用技巧。
步骤 3/7
目标：计算 x=0 时的极限
当 $x=0$ 时，$e^{n\cdot0}=1$，直接代入：
$$f(0)=\lim_{n\to\infty} \frac{0+0}{2014+1}=0.$$
提示：注意 $x=0$ 时 $x^{2014}=0$，$x^{2}=0$。
步骤 4/7
目标：计算 x<0 时的极限
当 $x<0$ 时，$e^{nx}\to 0$，分子分母直接取极限：
$$f(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{x^{2014}+x^{2}\cdot0}{2014+0} = \frac{x^{2014}}{2014}.$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} e^{nx}=0 \quad (x<0)$$
提示：注意 $x^{2014}$ 是偶次幂，对负数也成立。
步骤 5/7
目标：写出分段函数表达式
综合以上，得到分段函数：
$$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^{2014}}{2014}, & x < 0, \\
0, & x=0, \\
x^{2}, & x > 0.
\end{cases}$$
提示：注意在 $x=0$ 处，左右表达式都给出0，但分段时需单独列出。
步骤 6/7
目标：讨论可微性：检查 x=0 处的导数
函数在 $x\neq0$ 时是初等函数，显然可微。只需检查 $x=0$ 处的可微性。计算左导数：
$$f'_-(0)=\lim_{h\to0^-} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to0^-} \frac{h^{2014}/2014 - 0}{h} = \lim_{h\to0^-} \frac{h^{2013}}{2014} = 0.$$
右导数：
$$f'_+(0)=\lim_{h\to0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to0^+} \frac{h^{2} - 0}{h} = \lim_{h\to0^+} h = 0.$$
左右导数相等，故 $f'(0)=0$ 存在。
公式：$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
提示：计算左导数时注意 $h<0$，$h^{2013}$ 为负，但极限为0；右导数 $h>0$，$h$ 趋于0。
步骤 7/7
目标：结论
函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上处处可微。
提示：可微性要求左右导数存在且相等。
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