安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
八，（12 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\right) e^{-x}$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义函数并求导
令 $f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}$，则 $f'(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)'e^{-x} + \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)(e^{-x})'$。由于 $(e^{-x})' = -e^{-x}$，且多项式部分的导数为 $1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$，所以 $f'(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)e^{-x} - \left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right)e^{-x}$。
公式：$(e^{-x})' = -e^{-x}$，$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^k}{k!}\right)=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}$
提示：注意多项式求导时，最后一项 $\frac{x^n}{n!}$ 的导数为 $\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：化简导数表达式
将两个括号内的多项式相减：$\left(1+x+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right) - \left(1+x+\cdots+\frac{x^n}{n!}\right) = -\frac{x^n}{n!}$。因此 $f'(x) = -\frac{x^n}{n!} e^{-x}$。
提示：注意相减时，前 $n$ 项抵消，仅剩 $ -\frac{x^n}{n!}$。
步骤 3/7
目标：求驻点
令 $f'(x)=0$，即 $-\frac{x^n}{n!} e^{-x}=0$。由于 $e^{-x}>0$ 恒成立，$n!>0$，所以 $x^n=0$，解得 $x=0$。
提示：注意 $e^{-x}$ 永远不为零，因此驻点仅由 $x^n=0$ 决定。
步骤 4/7
目标：讨论 $n$ 的奇偶性对导数符号的影响
考虑 $f'(x) = -\frac{x^n}{n!} e^{-x}$ 的符号。$e^{-x}>0$，$n!>0$，所以 $f'(x)$ 的符号由 $-x^n$ 决定。当 $n$ 为偶数时，$x^n \geq 0$，故 $-x^n \leq 0$，$f'(x) \leq 0$，且仅在 $x=0$ 处为零。当 $n$ 为奇数时，$x^n$ 在 $x<0$ 时为负，$x>0$ 时为正，故 $-x^n$ 在 $x<0$ 时为正，$x>0$ 时为负。
提示：注意 $n$ 的奇偶性影响 $x^n$ 的符号，进而影响 $f'(x)$ 的符号。
步骤 5/7
目标：判断极值情况（$n$ 为偶数）
当 $n$ 为偶数时，$f'(x) \leq 0$ 对所有 $x$ 成立，且仅在 $x=0$ 处等于0。因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，$x=0$ 不是极值点，函数无极值。
提示：单调递减函数没有极值点，注意驻点不一定是极值点。
步骤 6/7
目标：判断极值情况（$n$ 为奇数）
当 $n$ 为奇数时，$f'(x)$ 在 $x<0$ 时为正，$x>0$ 时为负，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。因此 $x=0$ 是极大值点，极大值为 $f(0)=\left(1+0+\cdots+0\right)e^0=1$。
提示：注意 $f(0)$ 的计算：多项式部分为1，$e^0=1$，所以 $f(0)=1$。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：若 $n$ 为偶数，函数 $f(x)$ 无极值；若 $n$ 为奇数，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值 $1$。
提示：注意区分 $n$ 的奇偶性，结论不同。
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