安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
六，（15 分）求函数 $\displaystyle x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}}$ 的导函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定函数并明确条件
设 $f(x) = x^{x^{a}} + x^{a^{x}} + a^{x^{x}}$，其中 $a>0$ 且 $a\neq 1$。分别求三项的导数。
提示：注意 $a$ 是常数，且 $a>0$，$a\neq 1$，否则底数为1或0时导数可能不同。
步骤 2/5
目标：求第一项 $y_1 = x^{x^{a}}$ 的导数
取对数得 $\ln y_1 = x^{a} \ln x$，两边对 $x$ 求导：
$$\frac{y_1'}{y_1} = a x^{a-1} \ln x + x^{a} \cdot \frac{1}{x} = x^{a-1}(a \ln x + 1)$$
所以 $y_1' = x^{x^{a}} \cdot x^{a-1}(a \ln x + 1) = x^{x^{a}+a-1}(a \ln x + 1)$。
公式：对数求导法：$(\ln y)' = \frac{y'}{y}$
提示：注意 $x^{a}$ 的导数是 $a x^{a-1}$，不要忘记乘以 $\ln x$ 的导数。
步骤 3/5
目标：求第二项 $y_2 = x^{a^{x}}$ 的导数
取对数得 $\ln y_2 = a^{x} \ln x$，两边对 $x$ 求导：
$$\frac{y_2'}{y_2} = a^{x} \ln a \cdot \ln x + a^{x} \cdot \frac{1}{x} = a^{x} \left( \ln a \ln x + \frac{1}{x} \right)$$
所以 $y_2' = x^{a^{x}} \cdot a^{x} \left( \ln a \ln x + \frac{1}{x} \right)$。
公式：指数函数求导：$(a^{x})' = a^{x} \ln a$
提示：注意 $a^{x}$ 的导数包含 $\ln a$，且乘积法则中不要遗漏项。
步骤 4/5
目标：求第三项 $y_3 = a^{x^{x}}$ 的导数
取对数得 $\ln y_3 = x^{x} \ln a$，两边对 $x$ 求导：
$$\frac{y_3'}{y_3} = \ln a \cdot (x^{x})'$$
先求 $(x^{x})'$：令 $u = x^{x}$，则 $\ln u = x \ln x$，求导得 $\frac{u'}{u} = \ln x + 1$，所以 $u' = x^{x}(\ln x + 1)$。
因此 $\frac{y_3'}{y_3} = \ln a \cdot x^{x}(\ln x + 1)$，
所以 $y_3' = a^{x^{x}} \cdot \ln a \cdot x^{x}(\ln x + 1)$。
公式：幂指函数求导：$(x^{x})' = x^{x}(\ln x + 1)$
提示：注意 $x^{x}$ 的导数需要再次使用对数求导法，不要直接套用幂函数或指数函数公式。
步骤 5/5
目标：合并三项导数得到最终结果
将三项导数相加，得：
$$f'(x) = x^{x^{a}+a-1}(a \ln x + 1) + x^{a^{x}} a^{x} \left( \ln a \ln x + \frac{1}{x} \right) + a^{x^{x}} x^{x} \ln a (\ln x + 1)$$
提示：最终结果中各项的指数和系数要仔细检查，避免合并时出错。
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