安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
十一，（12 分）求 $\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n} \cdot(|q|<1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算第一个级数
对于 $|q|<1$，等比级数求和公式给出 $\sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1-q}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1-q}$
提示：注意求和从 $n=1$ 开始，首项为 $q$，公比为 $q$。
步骤 2/7
目标：计算第一个级数的平方
将上一步结果平方：$\left(\sum_{n=1}^{\infty} q^n\right)^2 = \left(\frac{q}{1-q}\right)^2 = \frac{q^2}{(1-q)^2}$。
公式：$\left(\sum_{n=1}^{\infty} q^n\right)^2 = \frac{q^2}{(1-q)^2}$
提示：平方时注意分子分母分别平方。
步骤 3/7
目标：计算第二个级数中的 $\sum n q^n$
利用已知公式 $\sum_{n=1}^{\infty} n q^n = \frac{q}{(1-q)^2}$，该公式可由 $\sum_{n=1}^{\infty} q^n$ 求导得到。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n q^n = \frac{q}{(1-q)^2}$
提示：注意 $n$ 从 1 开始，公式成立条件 $|q|<1$。
步骤 4/7
目标：计算第二个级数 $\sum (n+1) q^n$
拆分求和：$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1) q^n = \sum_{n=1}^{\infty} n q^n + \sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{(1-q)^2} + \frac{q}{1-q}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1) q^n = \frac{q}{(1-q)^2} + \frac{q}{1-q}$
提示：注意两个级数收敛条件相同，可以分别求和。
步骤 5/7
目标：化简第二个级数的表达式
通分：$\frac{q}{(1-q)^2} + \frac{q}{1-q} = \frac{q + q(1-q)}{(1-q)^2} = \frac{2q - q^2}{(1-q)^2}$。
提示：通分时注意分母为 $(1-q)^2$，第二项分子分母同乘 $(1-q)$。
步骤 6/7
目标：计算原式差值
原式为 $\frac{q^2}{(1-q)^2} - \frac{2q - q^2}{(1-q)^2} = \frac{q^2 - (2q - q^2)}{(1-q)^2} = \frac{2q^2 - 2q}{(1-q)^2}$。
提示：注意减号要分配，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：化简最终结果
分子提取公因式：$\frac{2q(q-1)}{(1-q)^2} = \frac{2q(q-1)}{(1-q)^2}$。由于 $q-1 = -(1-q)$，所以 $\frac{2q(q-1)}{(1-q)^2} = -\frac{2q}{1-q}$。
公式：$\frac{2q(q-1)}{(1-q)^2} = -\frac{2q}{1-q}$
提示：注意 $q-1$ 与 $1-q$ 互为相反数，约分时注意符号。
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