安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{s}(x-y-z) d y d z+(y-z-x) d x d z+(z-x-y) d x d y$ ，其中， S为 $\displaystyle |x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的表面并取外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别积分类型并应用高斯公式
被积表达式是第二类曲面积分，曲面 $S$ 封闭且取外侧，因此考虑使用高斯公式。令 $P = x-y-z$, $Q = y-z-x$, $R = z-x-y$，则原积分 $I = \iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$, $\frac{\partial Q}{\partial y}=1$, $\frac{\partial R}{\partial z}=1$，故 $\nabla \cdot \mathbf{F}=3$。由高斯公式，$I = \iiint_V 3 dV$，其中 $V$ 是 $S$ 所围成的区域。
公式：高斯公式：$\iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：确保曲面封闭且取外侧；高斯公式要求 $P,Q,R$ 在 $V$ 内有一阶连续偏导数，这里满足。
步骤 2/5
目标：变量代换简化区域
曲面方程 $|x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 复杂，引入新变量：$u = x-y-z$, $v = y-z-x$, $w = z-x-y$。则曲面变为 $|u|+|v|+|w|=1$，区域 $V$ 对应 $|u|+|v|+|w| \leq 1$，这是一个正八面体。
提示：注意新变量 $u,v,w$ 不是独立的，但线性变换可逆，需要计算雅可比行列式。
步骤 3/5
目标：计算变换的雅可比行列式
变换 $(x,y,z) \to (u,v,w)$ 是线性变换，矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。计算行列式：$\det A = 1\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) - (-1)\cdot((-1)\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) + (-1)\cdot((-1)\cdot(-1) - 1\cdot(-1)) = 1\cdot0 + 1\cdot(-2) -1\cdot(2) = -4$。因此 $\left|\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right| = |\det A| = 4$，从而 $dx dy dz = \frac{1}{4} du dv dw$。
公式：雅可比行列式：$\left|\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right| = \det A$
提示：注意行列式符号取绝对值；也可解出 $x = (v-w)/2$, $y = (w-u)/2$, $z = (u-v)/2$ 直接计算雅可比。
步骤 4/5
目标：计算新区域体积
在 $uvw$ 空间中，区域 $V' = \{(u,v,w): |u|+|v|+|w| \leq 1\}$ 是正八面体，其体积公式为 $\frac{4}{3} \times (\text{半轴长})^3$，这里半轴长为1，故体积 $V_{uvw} = \frac{4}{3}$。因此原区域 $V$ 的体积 $V_{xyz} = \frac{1}{4} V_{uvw} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$。
公式：正八面体体积：$V = \frac{4}{3} a^3$，其中 $a$ 为半轴长
提示：注意 $|u|+|v|+|w| \leq 1$ 的图形是正八面体，顶点在坐标轴上，半轴长为1。
步骤 5/5
目标：计算原积分值
由高斯公式，原积分 $I = \iiint_V 3 dV = 3 \times V_{xyz} = 3 \times \frac{1}{3} = 1$。
公式：$I = 3 \times \text{体积}$
提示：最终结果简洁，注意检查计算过程。
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