安徽师范大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
四，（10 分）证明数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义数列并考虑差值
设 $a_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n$。计算 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。
公式：$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$
提示：注意 $a_{n+1}$ 的定义：$a_{n+1} = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} - \ln(n+1)$，相减时小心对数项。
步骤 2/6
目标：利用不等式判断单调性
利用不等式 $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$（$x>0$），取 $x=\frac{1}{n}$，得 $\frac{1}{n+1} < \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$。因此 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 0$，故 $\{a_n\}$ 单调递减。
公式：$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$
提示：注意不等式方向：$\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n})$，所以差值小于0。
步骤 3/6
目标：证明有下界
利用不等式 $\ln(1+x) < x$ 的变形：$\frac{1}{k} > \ln\left(1+\frac{1}{k}\right)$，对 $k=1,2,\dots,n$ 求和得 $1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} > \ln(2) + \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \cdots + \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \ln(n+1)$。因此 $a_n > \ln(n+1) - \ln n > 0$，故 $\{a_n\}$ 有下界0。
公式：$\frac{1}{k} > \ln\left(1+\frac{1}{k}\right)$
提示：求和时注意对数相消得到 $\ln(n+1)$，不要误算为 $\ln n$。
步骤 4/6
目标：由单调有界定理得收敛
$\{a_n\}$ 单调递减且有下界，由单调有界定理知 $\{a_n\}$ 收敛。其极限称为欧拉常数 $\gamma$。
提示：单调有界定理是数列收敛的充分条件，注意检查单调性和有界性。
步骤 5/6
目标：将所求极限用调和级数表示
所求极限 $L = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{k}$。利用调和级数部分和：$\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k} = \ln m + \gamma + \varepsilon_m$，其中 $\varepsilon_m \to 0$。则 $\sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = (\ln(3n)+\gamma+\varepsilon_{3n}) - (\ln n+\gamma+\varepsilon_n) = \ln 3 + (\varepsilon_{3n} - \varepsilon_n)$。
公式：$\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k} = \ln m + \gamma + \varepsilon_m$
提示：注意 $\varepsilon_m$ 是趋于0的无穷小量，但不要误以为 $\varepsilon_m = 0$。
步骤 6/6
目标：取极限得结果
当 $n\to\infty$ 时，$\varepsilon_{3n} \to 0$，$\varepsilon_n \to 0$，故 $L = \ln 3 + 0 = \ln 3$。
提示：极限运算中，无穷小量之差仍是无穷小量。
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