安徽师范大学 2017年数学分析第0题

观察到分子是 $1^{2016}+2^{2016}+\cdots+n^{2016}$，分母是 $n^{2017}$。将分子分母同除以 $n^{2017}$，得到 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{2016}$。这是函数 $f(x)=x^{2016}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和，其中分割点为 $\frac{k}{n}$，每个小区间长度为 $\frac{1}{n}$。因此，极限等于定积分 $\int_0^1 x^{2016} dx$。

计算 $\int_0^1 x^{2016} dx$。由幂函数积分公式，$\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$，所以 $\int_0^1 x^{2016} dx = \left[\frac{x^{2017}}{2017}\right]_0^1 = \frac{1}{2017}$。

设 $f(x)=e^x \sin x$。求一阶导数：$f'(x)=e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x+\cos x)$。利用辅助角公式，$\sin x+\cos x = \sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，所以 $f'(x)=\sqrt{2}e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$。

对 $f'(x)=\sqrt{2}e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 求导。$f''(x)=\sqrt{2}\left[e^x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+e^x\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right] = \sqrt{2}e^x\left[\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]$。再次使用辅助角公式，$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$，所以 $f''(x)=(\sqrt{2})^2 e^x\sin\left(x+\frac{2\pi}{4}\right)$。

由一阶和二阶导数，猜测 $f^{(n)}(x)=2^{n/2}e^x\sin\left(x+\frac{n\pi}{4}\right)$。用数学归纳法证明：假设 $n=k$ 时成立，则 $f^{(k+1)}(x)=\frac{d}{dx}\left[2^{k/2}e^x\sin\left(x+\frac{k\pi}{4}\right)\right]=2^{k/2}e^x\left[\sin\left(x+\frac{k\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{k\pi}{4}\right)\right]=2^{k/2}e^x\cdot\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=2^{(k+1)/2}e^x\sin\left(x+\frac{(k+1)\pi}{4}\right)$，成立。