安徽师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
七，（10 分）证明：$\displaystyle n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}, n>1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入算术-几何平均不等式
对于 $n$ 个正数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，算术-几何平均不等式（AM-GM）指出：算术平均数 $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ 不小于几何平均数 $\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$，等号成立当且仅当所有 $a_i$ 相等。
公式：\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
提示：注意不等式方向：算术平均 ≥ 几何平均，且等号条件为所有数相等。
步骤 2/7
目标：选取特定的正数序列
取 $a_1 = 1, a_2 = 2, \dots, a_n = n$，共 $n$ 个正数。由于 $n > 1$，这些数不全相等，因此应用 AM-GM 不等式得到严格不等式：
$$\frac{1+2+\cdots+n}{n} > \sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdots n}$$
提示：注意严格不等号成立的条件：序列中至少有两个数不相等。
步骤 3/7
目标：计算算术平均数
计算前 $n$ 个正整数的和：$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$。因此算术平均数为：
$$\frac{1+2+\cdots+n}{n} = \frac{n(n+1)/2}{n} = \frac{n+1}{2}$$
公式：1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}
提示：等差数列求和公式不要记错。
步骤 4/7
目标：计算几何平均数
几何平均数为 $\sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdots n} = \sqrt[n]{n!}$。
提示：几何平均数的定义：$n$ 个数的乘积的 $n$ 次方根。
步骤 5/7
目标：代入不等式
将算术平均数和几何平均数代入严格不等式：
$$\frac{n+1}{2} > \sqrt[n]{n!}$$
提示：注意不等号方向：左边大于右边。
步骤 6/7
目标：两边 $n$ 次方
由于 $n$ 是正整数，且两边均为正数，对不等式两边同时取 $n$ 次方，不等号方向不变：
$$\left(\frac{n+1}{2}\right)^n > n!$$
提示：幂函数 $f(x)=x^n$ 在 $x>0$ 时单调递增，因此不等号方向不变。
步骤 7/7
目标：整理结论
将不等式改写为 $n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$，这正是要证明的结论。
提示：注意最终形式：$n!$ 小于右边。
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