安徽师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
三，（10 分）证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义数列并判断单调性
设 $a_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$。由于每一项 $\frac{1}{k^2} > 0$，所以 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{(n+1)^2} > a_n$，因此数列 $\{a_n\}$ 严格单调递增。
提示：注意单调递增的定义：后一项大于前一项。
步骤 2/5
目标：寻找上界：放缩通项
为了证明数列有上界，考虑对通项进行放缩。对于 $k \geq 2$，有 $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)}$，因为 $k^2 \geq k(k-1)$。而 $\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$（裂项相消）。
公式：\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}
提示：注意放缩方向：要证明有上界，需将每一项放大。裂项时注意 $k$ 从2开始。
步骤 3/5
目标：求和放缩后的级数
对 $a_n$ 进行放缩：
$$
a_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \leq 1 + \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right).
$$
求和得：
$$
\sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{n}.
$$
因此 $a_n \leq 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n} < 2$。
公式：\sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = 1 - \frac{1}{n}
提示：裂项相消时，注意中间项全部抵消，只剩下首项和末项。
步骤 4/5
目标：得出上界并应用单调有界定理
由上述推导，对任意 $n \in \mathbb{N}^+$，有 $a_n < 2$，即数列 $\{a_n\}$ 有上界2。又因为数列单调递增，根据单调有界定理，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
提示：单调有界定理：单调递增且有上界的数列必收敛。注意上界不一定是极限，只需存在即可。
步骤 5/5
目标：补充说明（可选）
实际上，该级数收敛到 $\frac{\pi^2}{6}$，但本题只需证明收敛，无需计算极限。
提示：不要混淆证明收敛与求极限。
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