安徽师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{n}{n+1} \cos \frac{n \pi}{2}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \frac{\lim }{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim }$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析余弦项的周期性
数列通项为 $x_n = 1 + \frac{n}{n+1} \cos \frac{n\pi}{2}$。由于 $\cos \frac{n\pi}{2}$ 的周期为4，分别考虑 $n=4k+1,4k+2,4k+3,4k+4$ 四种情况。
公式：$\cos \frac{n\pi}{2}$ 的周期为4
提示：注意 $\cos \frac{n\pi}{2}$ 在 $n$ 为奇数时可能为0，偶数时可能为 $\pm 1$。
步骤 2/7
目标：写出各子列的表达式
当 $n=4k+1$ 时，$\cos \frac{(4k+1)\pi}{2}=0$，$x_{4k+1}=1$；当 $n=4k+2$ 时，$\cos \frac{(4k+2)\pi}{2}=-1$，$x_{4k+2}=1-\frac{4k+2}{4k+3}=\frac{1}{4k+3}$；当 $n=4k+3$ 时，$\cos \frac{(4k+3)\pi}{2}=0$，$x_{4k+3}=1$；当 $n=4k+4$ 时，$\cos \frac{(4k+4)\pi}{2}=1$，$x_{4k+4}=1+\frac{4k+4}{4k+5}=2-\frac{1}{4k+5}$。
公式：$x_{4k+2}=\frac{1}{4k+3}$，$x_{4k+4}=2-\frac{1}{4k+5}$
提示：化简 $x_{4k+2}$ 时注意 $1-\frac{4k+2}{4k+3}=\frac{1}{4k+3}$。
步骤 3/7
目标：求下确界
观察各子列：$x_{4k+1}=1$，$x_{4k+3}=1$，$x_{4k+4}>1$ 且递增趋于2，$x_{4k+2}=\frac{1}{4k+3}$ 递减趋于0。因此数列中最小项出现在 $x_{4k+2}$ 子列，且随着 $k$ 增大趋近于0，但始终大于0，故下确界为0。
提示：下确界不一定在数列中取到，这里0是极限点但不是项。
步骤 4/7
目标：求上确界
观察 $x_{4k+4}=2-\frac{1}{4k+5}$ 递增趋于2，且始终小于2；其他子列均不超过 $x_4=1.8$ 或等于1。因此上确界为2。
提示：上确界也不在数列中，注意 $x_{4k+4}<2$。
步骤 5/7
目标：求下极限
所有子列的极限点：$x_{4k+1}\to 1$，$x_{4k+2}\to 0$，$x_{4k+3}\to 1$，$x_{4k+4}\to 2$。下极限为极限点中的最小值，即0。
提示：下极限是子列极限的下确界，注意区分于下确界。
步骤 6/7
目标：求上极限
上极限为极限点中的最大值，即2。
提示：上极限是子列极限的上确界。
步骤 7/7
目标：汇总答案
因此，$\inf\{x_n\}=0$，$\sup\{x_n\}=2$，$\varliminf_{n\to\infty} x_n=0$，$\varlimsup_{n\to\infty} x_n=2$。
提示：注意上下确界与上下极限的区别。
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