安徽师范大学 2017年数学分析第0题

函数 $f(x) = \sin x^2$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，但需要判断是否一致连续。一致连续要求：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in \mathbb{R}$，只要 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。

由于 $\sin x^2$ 的振荡频率随 $|x|$ 增大而加快，直觉上不一致连续。因此尝试证明存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都能找到两点 $x, y$ 满足 $|x - y| < \delta$ 但 $|f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0$。

取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。

对任意 $\delta > 0$，取 $n$ 充分大使得 $\frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{4}} + \sqrt{n}} < \delta$。令 $x_n = \sqrt{n}$，$y_n = \sqrt{n + \frac{1}{4}}$。则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{\sqrt{n+\frac{1}{4}} + \sqrt{n}} < \delta$。

计算 $|f(x_n) - f(y_n)| = |\sin n - \sin (n+\frac{1}{4})|$。利用三角恒等式：$\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}$，得 $|\sin n - \sin (n+\frac{1}{4})| = 2 \left| \cos\left(n+\frac{1}{8}\right) \sin\frac{1}{8} \right|$。

由于 $\cos\left(n+\frac{1}{8}\right)$ 在 $n$ 取整数时稠密于 $[-1,1]$，存在子列使得 $\left|\cos\left(n+\frac{1}{8}\right)\right| \geq \frac{1}{2}$。实际上，取 $n$ 使得 $\cos\left(n+\frac{1}{8}\right) \approx 1$，则 $|f(x_n)-f(y_n)| \approx 2 \cdot 1 \cdot \sin\frac{1}{8} = 2\sin\frac{1}{8}$。计算 $2\sin\frac{1}{8} \approx 0.2497 < \frac{1}{2}$，不满足。因此需调整构造。

取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta > 0$，取 $n$ 充分大使得 $\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{n\pi} < \delta$。令 $x_n = \sqrt{n\pi}$，$y_n = \sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}}$。则 $|x_n - y_n| = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{n\pi}} < \delta$。且 $|f(x_n)-f(y_n)| = |\sin(n\pi) - \sin(n\pi + \frac{\pi}{2})| = |0 - 1| = 1 \geq \frac{1}{2}$。

因此，对 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，无论 $\delta$ 多小，总存在 $x_n, y_n$ 满足 $|x_n - y_n| < \delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)| = 1 \geq \frac{1}{2}$。故 $f(x) = \sin x^2$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内不一致连续。