安徽师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
八，（10 分）证明：$\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}>e, x>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：等价变形不等式
要证明 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} > e$ 对 $x>0$ 成立，两边取自然对数，等价于证明 $(x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) > 1$。
公式：$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} = (x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$
提示：注意对数函数的单调性，取对数后不等号方向不变。
步骤 2/6
目标：构造函数并求导
令 $f(x) = (x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1$，$x>0$。求导得：
$$f'(x) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) + (x+1)\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x}.$$
公式：$\frac{d}{dx}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)$
提示：求导时注意复合函数求导法则，以及 $\frac{1}{x}$ 的导数为 $-\frac{1}{x^2}$。
步骤 3/6
目标：分析导数的符号
令 $g(x) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x}$，则 $g'(x) = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2(x+1)} > 0$，故 $g(x)$ 严格递增。又 $\lim_{x\to +\infty} g(x) = \ln 1 - 0 = 0$，所以 $g(x) < 0$ 对 $x>0$ 恒成立，即 $f'(x) < 0$，从而 $f(x)$ 严格递减。
公式：$g'(x) = \frac{1}{x^2(x+1)}$
提示：注意 $g(x)$ 的极限计算：$\ln(1+1/x) \to 0$，$1/x \to 0$。
步骤 4/6
目标：计算函数在无穷远处的极限
计算 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \left[(x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - 1\right]$。令 $t = 1/x$，则 $x = 1/t$，当 $x\to +\infty$ 时 $t\to 0^+$，极限化为 $\lim_{t\to 0^+} \left[\left(\frac{1}{t}+1\right)\ln(1+t) - 1\right]$。
公式：$t = 1/x$
提示：变量代换时注意 $x>0$ 对应 $t>0$，且 $t\to 0^+$。
步骤 5/6
目标：利用泰勒展开求极限
利用 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，代入得：
$$\left(\frac{1}{t}+1\right)\left(t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right) - 1 = 1 - \frac{t}{2} + t + o(t) - 1 = \frac{t}{2} + o(t) \to 0.$$
故 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$
提示：注意展开到足够阶数，确保 $o(t)$ 项不影响极限结果。
步骤 6/6
目标：结合单调性得出结论
由于 $f(x)$ 严格递减且 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$，所以对任意 $x>0$，有 $f(x) > 0$，即 $(x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) > 1$，从而原不等式 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} > e$ 成立。
提示：注意单调递减且极限为0意味着函数值恒大于0。
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