安徽师范大学 2017年数学分析第0题

首先，我们需要明确题目中涉及的两个概念： 1. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上**绝对并一致收敛**，意味着： - 对每个固定的 $x \in [a,b]$，数值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n(x)|$ 收敛（绝对收敛）； - 部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于某个函数 $S(x)$，即 \[ \lim_{N \to \infty} \sup_{x \in [a,b]} \left| S(x) - \sum_{n=1}^N u_n(x) \right| = 0. \] 2. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n(x)|$ 在 $[a,b]$ 上**一致收敛**，意味着：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > m \ge N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 都有 \[ \sum_{k=m+1}^n |u_k(x)| < \varepsilon. \]

假设 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n(x)|$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。 - 对每个固定的 $x$，由于 $\sum |u_n(x)|$ 收敛，故 $\sum u_n(x)$ 绝对收敛。 - 由一致收敛的柯西准则：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n > m \ge N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 有 \[ \sum_{k=m+1}^n |u_k(x)| < \varepsilon. \] 利用绝对值不等式，有 \[ \left| \sum_{k=m+1}^n u_k(x) \right| \le \sum_{k=m+1}^n |u_k(x)| < \varepsilon, \] 因此 $\sum u_n(x)$ 也满足一致收敛的柯西准则，从而一致收敛。 综上，$\sum u_n(x)$ 绝对且一致收敛。

反过来，若 $\sum u_n(x)$ 绝对且一致收敛，是否必有 $\sum |u_n(x)|$ 一致收敛？答案是否定的。 我们需要构造一个反例，使得： - 对每个 $x \in [a,b]$，$\sum |u_n(x)|$ 收敛（绝对收敛）； - $\sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛； - 但 $\sum |u_n(x)|$ 在 $[a,b]$ 上不一致收敛。 关键在于：虽然逐点绝对收敛，但收敛速度关于 $x$ 不一致。

考虑区间 $[0,1]$，定义函数 \[ u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n} x^n (1-x), \quad x \in [0,1]. \] - **逐点绝对收敛**：对固定 $x \in [0,1]$，$|u_n(x)| = \frac{x^n (1-x)}{n}$。当 $x=1$ 时，$u_n(1)=0$，级数绝对收敛；当 $x<1$ 时，$\sum \frac{x^n}{n}$ 收敛，乘以 $(1-x)$ 仍收敛，故每点绝对收敛。 - **原级数一致收敛**：部分和 $S_N(x) = (1-x) \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n} x^n$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} x^n = -\ln(1+x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛（由 Abel 判别法，$\frac{(-1)^n}{n}$ 单调趋于0，$x^n$ 一致有界），乘以有界函数 $(1-x)$ 后仍一致收敛。 - **绝对值级数不一致收敛**：考虑余项 \[ R_N(x) = \sum_{n=N+1}^\infty |u_n(x)| = (1-x) \sum_{n=N+1}^\infty \frac{x^n}{n}. \] 当 $x \to 1^-$ 时，$\sum_{n=N+1}^\infty \frac{x^n}{n} \sim -\ln(1-x)$，故 $R_N(x) \sim -(1-x)\ln(1-x) \to 0$（当 $x\to 1^-$），但对任意固定的 $N$，$\sup_{x\in[0,1]} R_N(x)$ 在 $x$ 接近1时并不小，实际上可证 $\sup_x R_N(x)$ 不趋于0（例如取 $x=1-1/N$ 可估算），因此 $\sum |u_n(x)|$ 不一致收敛。

通过以上分析，我们得到结论： - **充分性**：若 $\sum |u_n(x)|$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，则 $\sum u_n(x)$ 必在 $[a,b]$ 上绝对且一致收敛。 - **必要性不成立**：存在 $\sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上绝对且一致收敛，但 $\sum |u_n(x)|$ 不一致收敛的例子。 因此，$\sum u_n(x)$ 绝对并一致收敛是 $\sum |u_n(x)|$ 一致收敛的必要但不充分条件。