安徽师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle |x|+|y|+|z|=1$ 的表面．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用对称性简化积分区域
曲面 $\Sigma: |x|+|y|+|z|=1$ 关于坐标面对称，被积函数 $x^2+y^2+z^2$ 是偶函数，因此积分等于第一卦限部分积分的8倍。第一卦限内曲面方程为 $x+y+z=1$（$x,y,z\ge 0$），记该部分为 $\Sigma_1$。
提示：注意对称性要求被积函数为偶函数，且曲面关于坐标面对称。
步骤 2/7
目标：将曲面积分投影到xOy平面
第一卦限内曲面 $z=1-x-y$，投影区域 $D: x\ge 0, y\ge 0, x+y\le 1$。计算面积元：$z_x=-1$, $z_y=-1$，则 $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy = \sqrt{1+1+1}\,dxdy = \sqrt{3}\,dxdy$。
公式：$dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$
提示：注意投影区域边界由 $x+y=1$ 和坐标轴围成。
步骤 3/7
目标：写出第一卦限的积分表达式
第一卦限积分：
$$\iint_{\Sigma_1} (x^2+y^2+z^2) dS = \iint_D [x^2+y^2+(1-x-y)^2] \sqrt{3}\,dxdy$$
提示：代入 $z=1-x-y$ 时要小心展开。
步骤 4/7
目标：展开被积函数并化简
展开 $(1-x-y)^2 = 1 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy$，则被积函数为：
$$x^2+y^2+1+x^2+y^2-2x-2y+2xy = 2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1$$
提示：合并同类项时注意符号。
步骤 5/7
目标：利用对称性计算各二重积分
由于 $D$ 关于 $y=x$ 对称，有 $\iint_D x^2 dxdy = \iint_D y^2 dxdy$，$\iint_D x dxdy = \iint_D y dxdy$。分别计算：
$$\iint_D 1\,dxdy = \frac{1}{2}$$
$$\iint_D x\,dxdy = \int_0^1 x\,dx\int_0^{1-x} dy = \int_0^1 x(1-x)\,dx = \frac{1}{6}$$
$$\iint_D x^2\,dxdy = \int_0^1 x^2\,dx\int_0^{1-x} dy = \int_0^1 x^2(1-x)\,dx = \frac{1}{12}$$
$$\iint_D xy\,dxdy = \int_0^1 x\,dx\int_0^{1-x} y\,dy = \int_0^1 x\cdot\frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{24}$$
提示：计算二重积分时注意积分限的确定，先对 $y$ 后对 $x$。
步骤 6/7
目标：代入并计算第一卦限积分值
将各积分值代入：
$$\begin{aligned} I_1 &= \sqrt{3}\left[2\cdot\frac{1}{12}+2\cdot\frac{1}{12}+2\cdot\frac{1}{24}-2\cdot\frac{1}{6}-2\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right] \\ &= \sqrt{3}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right) \\ &= \sqrt{3}\cdot\frac{3}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$$
提示：通分时注意分母统一为12。
步骤 7/7
目标：乘以对称因子得到最终结果
整个曲面积分为 $8$ 倍第一卦限积分：
$$\iint_{\Sigma} (x^2+y^2+z^2) dS = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$$
提示：注意对称因子为8，因为第一卦限对应 $x,y,z$ 均非负，共有8个卦限。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。