安徽师范大学 2017年数学分析第0题

被积函数分母为 $\sin(x+2016)\sin(x+2017)$，利用积化和差公式：$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$。令 $A=x+2016$，$B=x+2017$，则 $A-B=-1$，$\cos(A-B)=\cos 1$（常数），$A+B=2x+4033$。因此 $\sin(x+2016)\sin(x+2017) = \frac{1}{2}[\cos 1 - \cos(2x+4033)]$。原积分化为 $\int \frac{2}{\cos 1 - \cos(2x+4033)} dx$。

令 $u = 2x+4033$，则 $du = 2dx$，$dx = \frac{du}{2}$。代入得 $\int \frac{2}{\cos 1 - \cos u} \cdot \frac{du}{2} = \int \frac{du}{\cos 1 - \cos u}$。

令 $t = \tan\frac{u}{2}$，则 $\cos u = \frac{1-t^2}{1+t^2}$，$du = \frac{2}{1+t^2} dt$。代入得 $\int \frac{1}{\cos 1 - \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{\cos 1 (1+t^2) - (1-t^2)} dt = \int \frac{2}{(\cos 1 -1) + (\cos 1 +1) t^2} dt$。

利用半角公式：$\cos 1 -1 = -2\sin^2\frac{1}{2}$，$\cos 1 +1 = 2\cos^2\frac{1}{2}$。代入得 $\int \frac{2}{-2\sin^2\frac{1}{2} + 2\cos^2\frac{1}{2} t^2} dt = \int \frac{1}{\cos^2\frac{1}{2} t^2 - \sin^2\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{\cos^2\frac{1}{2}} \int \frac{dt}{t^2 - \tan^2\frac{1}{2}}$。

积分 $\int \frac{dt}{t^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{t-a}{t+a}\right| + C$，其中 $a = \tan\frac{1}{2}$。所以 $\frac{1}{\cos^2\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\tan\frac{1}{2}} \ln\left|\frac{t - \tan\frac{1}{2}}{t + \tan\frac{1}{2}}\right| + C$。化简系数：$\frac{1}{\cos^2\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2\tan\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sin 1}$。因此结果为 $\frac{1}{\sin 1} \ln\left|\frac{t - \tan\frac{1}{2}}{t + \tan\frac{1}{2}}\right| + C$。回代 $t = \tan\frac{u}{2} = \tan\left(x + \frac{4033}{2}\right)$。

利用正切差公式：$\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$，$\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$，所以 $\frac{\tan A - \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}$。令 $A = x + \frac{4033}{2}$，$B = \frac{1}{2}$，则 $A-B = x+2016$，$A+B = x+2017$。因此 $\frac{\tan\left(x + \frac{4033}{2}\right) - \tan\frac{1}{2}}{\tan\left(x + \frac{4033}{2}\right) + \tan\frac{1}{2}} = \frac{\sin(x+2016)}{\sin(x+2017)}$。最终积分结果为 $\frac{1}{\sin 1} \ln\left|\frac{\sin(x+2016)}{\sin(x+2017)}\right| + C$。