安徽师范大学 2017年数学分析第0题
📝 题目
四，（10 分）若 $\displaystyle 0 \leq x_{n+m} \leq x_{n}+x_{n}, n, m \in N^{+}$，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件并定义下确界
由条件 $0 \leq x_{n+m} \leq x_n + x_m$ 可知数列 $\{x_n\}$ 非负且满足次可加性。考虑下确界 $\alpha = \inf_{n \in \mathbb{N}^+} \frac{x_n}{n}$。由于 $\frac{x_n}{n} \geq 0$，下确界存在且有限。
公式：$\alpha = \inf_{n \in \mathbb{N}^+} \frac{x_n}{n}$
提示：注意下确界可能为0，但证明对任意非负次可加数列均成立。
步骤 2/6
目标：利用下确界性质选取特殊项
对任意 $\varepsilon > 0$，由下确界定义，存在正整数 $k$ 使得 $\frac{x_k}{k} < \alpha + \varepsilon$。这个 $k$ 将用于后续的分解。
公式：$\frac{x_k}{k} < \alpha + \varepsilon$
提示：确保 $k$ 是正整数，且 $\varepsilon$ 任意小。
步骤 3/6
目标：对任意n进行带余除法分解
对任意正整数 $n$，令 $n = qk + r$，其中 $q = \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor$，$0 \leq r < k$。由次可加性反复应用得 $x_n \leq q x_k + x_r$。
公式：$x_n \leq q x_k + x_r$
提示：注意 $r$ 的范围是 $0$ 到 $k-1$，且 $x_0$ 未定义，但 $r=0$ 时 $x_0$ 可视为0（由条件可设 $x_0=0$ 或直接处理）。
步骤 4/6
目标：放缩得到上界估计
由于 $x_r \leq \max_{1 \leq i < k} x_i$，记 $M = \max_{1 \leq i < k} x_i$，则 $x_n \leq q x_k + M$。于是 $\frac{x_n}{n} \leq \frac{q x_k}{qk + r} + \frac{M}{n} \leq \frac{x_k}{k} + \frac{M}{n}$。
公式：$\frac{x_n}{n} \leq \frac{x_k}{k} + \frac{M}{n}$
提示：注意 $\frac{q}{qk+r} \leq \frac{1}{k}$ 的放缩，因为 $qk+r \geq qk$。
步骤 5/6
目标：利用极限处理余项
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{M}{n} \to 0$。因此存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$\frac{M}{n} < \varepsilon$。结合 $\frac{x_k}{k} < \alpha + \varepsilon$，得 $\frac{x_n}{n} < \alpha + 2\varepsilon$。
公式：$\frac{x_n}{n} < \alpha + 2\varepsilon$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最终极限值可以取到 $\alpha$。
步骤 6/6
目标：结合下界证明极限存在
由下确界定义，$\frac{x_n}{n} \geq \alpha$ 对所有 $n$ 成立。因此对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$\alpha \leq \frac{x_n}{n} < \alpha + 2\varepsilon$。由极限定义，$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n} = \alpha$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n} = \alpha$
提示：注意极限存在的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使 $n>N$ 时 $|\frac{x_n}{n}-\alpha|<\varepsilon$。这里 $2\varepsilon$ 不影响，可调整。
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