安徽师范大学 2018年数学分析第0题

函数 $y = (1+x^2)\operatorname{sgn}(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$。当 $x>0$ 时，$\operatorname{sgn}(x)=1$，$y=1+x^2$，值域 $(1,+\infty)$；当 $x<0$ 时，$\operatorname{sgn}(x)=-1$，$y=-(1+x^2)$，值域 $(-\infty,-1)$；当 $x=0$ 时，$y=0$。因此值域为 $(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)$。

函数在 $x>0$ 时严格单调递增，在 $x<0$ 时严格单调递减，且不同分支的值域不重叠（正数部分大于等于1，负数部分小于等于-1，0单独），因此函数是单射，反函数存在。

反函数 $x = f^{-1}(y)$ 定义为： 当 $y>1$ 时，$x = \sqrt{y-1}$； 当 $y<-1$ 时，$x = -\sqrt{-y-1}$； 当 $y=0$ 时，$x=0$。 反函数的定义域为 $(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)$。

考虑区间 $[1,+\infty)$，反函数为 $x = \sqrt{y-1}$。其导数 $x' = \frac{1}{2\sqrt{y-1}}$ 在 $y\to 1^+$ 时趋于无穷，因此函数在 $y=1$ 附近不是Lipschitz连续的。进一步，取 $y_n = 1+\frac{1}{n^2}$，$y'_n = 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}$，则 $|y_n - y'_n| = \frac{1}{n} \to 0$，但 $|x(y_n)-x(y'_n)| = \left|\frac{1}{n} - \sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}\right| \approx \frac{1}{2\sqrt{n}} \not\to 0$，因此不一致连续。

类似地，在 $(-\infty,-1]$ 上，$x = -\sqrt{-y-1}$，导数 $x' = \frac{1}{2\sqrt{-y-1}}$ 在 $y\to -1^-$ 时趋于无穷。取 $y_n = -1-\frac{1}{n^2}$，$y'_n = -1-\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}$，则 $|y_n - y'_n| = \frac{1}{n} \to 0$，但 $|x(y_n)-x(y'_n)| = \left|\frac{1}{n} - \sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}}\right| \approx \frac{1}{2\sqrt{n}} \not\to 0$，因此不一致连续。

反函数定义域包含孤立点 $0$，且 $0$ 与区间 $[1,+\infty)$ 和 $(-\infty,-1]$ 不连通。由于定义域不是区间，整体一致连续性要求函数在每一点附近一致，但这里在 $0$ 处没有邻域，因此整体不一致连续。

反函数在定义域 $(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)$ 上不一致连续，因为它在 $y=1$ 和 $y=-1$ 附近不满足一致连续条件，且定义域不连通。