安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
三，（10 分）确定 $a$ 的范围，使得 $\displaystyle y=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-a x+1-a\right)$ 在 $\displaystyle \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递增．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析复合函数单调性
函数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - a x + 1 - a)$ 由外层对数函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} u$ 和内层二次函数 $u = x^2 - a x + 1 - a$ 复合而成。由于底数 $\frac{1}{2} \in (0,1)$，外层对数函数在定义域内单调递减。根据复合函数单调性“同增异减”，要使 $y$ 在 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ 上单调递增，内层函数 $u$ 必须在该区间上单调递减。
公式：复合函数单调性：若外层函数单调递减，则内层函数单调递减时复合函数单调递增。
提示：注意底数小于1时对数函数单调递减，不要与底数大于1的情况混淆。
步骤 2/6
目标：确定内层函数单调递减的条件
内层函数 $u(x) = x^2 - a x + 1 - a$ 是开口向上的二次函数，其对称轴为 $x = \frac{a}{2}$。在区间 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ 上单调递减，要求对称轴位于区间右侧，即 $\frac{a}{2} \geq -\frac{1}{2}$，解得 $a \geq -1$。
公式：二次函数 $f(x)=Ax^2+Bx+C$ 在 $(-\infty, m]$ 上单调递减当且仅当对称轴 $x=-\frac{B}{2A} \geq m$。
提示：注意区间是开区间，但单调性条件与闭区间相同，因为端点不影响单调性。
步骤 3/6
目标：考虑真数大于0的条件
对数函数的真数必须大于0，即 $u(x) = x^2 - a x + 1 - a > 0$ 在 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ 上恒成立。由于 $u(x)$ 在该区间单调递减，最小值在右端点 $x = -\frac{1}{2}$ 处取得（但区间是开区间，需考虑极限，实际只需 $u(-\frac{1}{2}) \geq 0$ 即可保证区间内所有点都大于0）。
公式：若函数在区间上单调递减，则最小值在右端点取得。
提示：注意开区间端点处可以等于0，因为区间内不包含端点，但需保证极限非负。
步骤 4/6
目标：计算端点处的函数值
计算 $u\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - a\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 - a = \frac{1}{4} + \frac{a}{2} + 1 - a = \frac{5}{4} - \frac{a}{2}$。令其 $\geq 0$，得 $\frac{5}{4} - \frac{a}{2} \geq 0$，解得 $a \leq \frac{5}{2}$。
公式：无
提示：计算时注意符号，避免代数错误。
步骤 5/6
目标：综合两个条件
由单调性条件得 $a \geq -1$，由真数大于0条件得 $a \leq \frac{5}{2}$，取交集得 $a \in [-1, \frac{5}{2}]$。
公式：无
提示：注意两个条件必须同时满足，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：验证边界情况
当 $a = -1$ 时，$u(x) = x^2 + x + 2$，对称轴 $x = -\frac{1}{2}$，在 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ 上单调递减，且 $u(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{4} > 0$，满足。当 $a = \frac{5}{2}$ 时，$u(x) = x^2 - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}$，对称轴 $x = \frac{5}{4} > -\frac{1}{2}$，在 $(-\infty, -\frac{1}{2})$ 上单调递减，且 $u(-\frac{1}{2}) = 0$，区间内 $u(x) > 0$，满足。因此边界可取。
公式：无
提示：边界值需单独验证，确保真数在区间内严格大于0。
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