安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
九，（15 分）求 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 上点的切线与坐标轴所谓三角形的最小面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出椭圆上一点的切线方程
设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程为 $\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1$。
公式：椭圆切线方程：$\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1$
提示：注意切线方程的形式，不要忘记分母是 $a^2$ 和 $b^2$。
步骤 2/6
目标：求切线与坐标轴的交点
令 $y=0$，得 $\frac{x x_0}{a^2}=1$，解得 $x=\frac{a^2}{x_0}$，所以与 $x$ 轴交点为 $A\left(\frac{a^2}{x_0},0\right)$。令 $x=0$，得 $\frac{y y_0}{b^2}=1$，解得 $y=\frac{b^2}{y_0}$，所以与 $y$ 轴交点为 $B\left(0,\frac{b^2}{y_0}\right)$。
提示：注意 $x_0$ 和 $y_0$ 可能为负，但交点坐标的符号由 $x_0$ 和 $y_0$ 的符号决定。
步骤 3/6
目标：计算三角形面积表达式
三角形面积为 $S=\frac12 \left|\frac{a^2}{x_0}\right| \cdot \left|\frac{b^2}{y_0}\right| = \frac{a^2 b^2}{2|x_0 y_0|}$。
公式：三角形面积公式：$S=\frac12 \times$ 底 $\times$ 高
提示：由于坐标可能为负，面积需取绝对值。
步骤 4/6
目标：利用椭圆方程和均值不等式求 $|x_0 y_0|$ 的最大值
由椭圆方程 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，根据均值不等式：$1 = \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} \geq 2\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}\cdot\frac{y_0^2}{b^2}} = \frac{2|x_0 y_0|}{ab}$，所以 $|x_0 y_0| \leq \frac{ab}{2}$，等号当 $\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{y_0^2}{b^2}=\frac12$ 时成立。
公式：均值不等式：$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$（$u,v\geq0$）
提示：注意 $x_0^2$ 和 $y_0^2$ 非负，可直接应用均值不等式。
步骤 5/6
目标：求三角形面积的最小值
由 $S = \frac{a^2 b^2}{2|x_0 y_0|}$，且 $|x_0 y_0| \leq \frac{ab}{2}$，得 $S \geq \frac{a^2 b^2}{2\cdot \frac{ab}{2}} = ab$。因此三角形面积的最小值为 $ab$。
提示：注意不等式方向：分母越大，分数越小，所以 $|x_0 y_0|$ 最大时 $S$ 最小。
步骤 6/6
目标：验证等号成立条件
等号成立当 $\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{y_0^2}{b^2}=\frac12$，即 $x_0^2=\frac{a^2}{2}$，$y_0^2=\frac{b^2}{2}$，此时 $|x_0 y_0| = \frac{ab}{2}$，面积 $S=ab$。
提示：等号成立条件需满足椭圆方程，确保点 $P$ 在椭圆上。
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