安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=n^{(-1)^{n}}$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \underline{l_{n \rightarrow \infty}}, \overline{l_{n \rightarrow \infty}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析数列通项
给定数列 $x_n = n^{(-1)^n}$。由于 $(-1)^n$ 的取值依赖于 $n$ 的奇偶性，我们分情况讨论：当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，所以 $x_n = n^{-1} = \frac{1}{n}$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，所以 $x_n = n^1 = n$。因此数列可写为：
$$x_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & n \text{ 为奇数} \\ n, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$$
提示：注意 $(-1)^n$ 的奇偶性影响，不要直接认为 $n^{(-1)^n}$ 是单调的。
步骤 2/5
目标：求下确界 $\inf\{x_n\}$
下确界是数列所有项的下界中的最大值。观察数列：奇数项 $\frac{1}{n}$ 随着 $n$ 增大而减小，趋于 0，但始终大于 0；偶数项 $n$ 随着 $n$ 增大而增大，趋于无穷。所有项均为正数，且奇数项可以无限接近 0，但 0 不是数列中的项。因此，下确界为 0，即 $\inf\{x_n\} = 0$。
提示：下确界不一定在数列中取到，注意区分下确界与最小值。
步骤 3/5
目标：求上确界 $\sup\{x_n\}$
上确界是数列所有项的上界中的最小值。偶数项 $n$ 随着 $n$ 增大而无限增大，没有上界，因此上确界为 $+\infty$，即 $\sup\{x_n\} = +\infty$。
提示：当数列无上界时，上确界为 $+\infty$，不要误以为不存在。
步骤 4/5
目标：求下极限 $\underline{\lim}_{n \to \infty} x_n$
下极限是数列所有收敛子列的极限的最小值（或所有极限点的下确界）。考虑奇数项子列：$x_{2k-1} = \frac{1}{2k-1} \to 0$；偶数项子列：$x_{2k} = 2k \to +\infty$，发散，不提供有限极限点。因此，唯一的有限极限点是 0，所以下极限为 0，即 $\underline{\lim}_{n \to \infty} x_n = 0$。
提示：下极限只考虑有限极限点，发散到无穷的子列不贡献有限极限点。
步骤 5/5
目标：求上极限 $\overline{\lim}_{n \to \infty} x_n$
上极限是数列所有收敛子列的极限的最大值（或所有极限点的上确界）。由于偶数项子列 $x_{2k} = 2k \to +\infty$，即存在子列趋于无穷，因此上极限为 $+\infty$，即 $\overline{\lim}_{n \to \infty} x_n = +\infty$。
提示：上极限允许为 $+\infty$，当存在子列趋于无穷时，上极限就是 $+\infty$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。