安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
五，（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数性质
考虑函数 $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$，计算 $f(1-x)$：
$$f(1-x)=\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=\frac{4/4^x}{4/4^x+2}=\frac{4}{4+2\cdot4^x}=\frac{2}{2+4^x}.$$
提示：注意指数运算：$4^{1-x}=4\cdot4^{-x}=4/4^x$。
步骤 2/7
目标：推导对称性公式
将 $f(x)$ 与 $f(1-x)$ 相加：
$$f(x)+f(1-x)=\frac{4^x}{4^x+2}+\frac{2}{4^x+2}=1.$$
公式：f(x)+f(1-x)=1
提示：注意分母相同，直接相加分子。
步骤 3/7
目标：定义求和表达式
令 $S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$，其中 $k$ 从1到 $n-1$。
提示：注意求和范围不包括 $k=0$ 和 $k=n$。
步骤 4/7
目标：利用对称性配对求和
由于 $f\left(\frac{k}{n}\right)+f\left(\frac{n-k}{n}\right)=1$，将求和项配对：
$$\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} \left[ f\left(\frac{k}{n}\right)+f\left(\frac{n-k}{n}\right) \right] = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} 1 = \frac{n-1}{2}.$$
提示：注意 $k$ 和 $n-k$ 覆盖所有项，且当 $n$ 为偶数时中间项 $k=n/2$ 会与自己配对，但公式仍成立。
步骤 5/7
目标：计算部分和 $S_n$
代入得：
$$S_n = \frac{1}{n}\cdot\frac{n-1}{2} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right).$$
提示：化简时注意 $\frac{n-1}{2n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n}$。
步骤 6/7
目标：求极限
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\to 0$，因此：
$$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2}.$$
提示：极限运算中，$\frac{1}{n}$ 趋于0。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
故所求极限为 $\boxed{\dfrac{1}{2}}$。
提示：答案需用框框标出。
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