安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
八，（10 分）研究 $\displaystyle \arctan x+\arctan \frac{1}{x}$ 与 $\displaystyle \frac{\pi|x|}{2 x}$ 的关系．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义函数并确定定义域
设 $f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}$，其定义域为 $x \neq 0$，因为 $\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义。
提示：注意定义域排除 $x=0$，因为 $\frac{1}{x}$ 无意义。
步骤 2/7
目标：分情况讨论：$x>0$ 时分析角度范围
当 $x > 0$ 时，$\frac{1}{x} > 0$，且 $\arctan x \in (0, \frac{\pi}{2})$，$\arctan \frac{1}{x} \in (0, \frac{\pi}{2})$。因此两角之和在 $(0, \pi)$ 内。
提示：注意反正切函数的值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，正数对应正值。
步骤 3/7
目标：利用正切和公式计算 $x>0$ 时的和
计算 $\tan\left(\arctan x + \arctan \frac{1}{x}\right) = \frac{x + \frac{1}{x}}{1 - x \cdot \frac{1}{x}} = \frac{x + \frac{1}{x}}{0}$。分母为0，说明正切值不存在（趋于无穷大），因此角度和为 $\frac{\pi}{2}$（因为两角均在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内，和不可能为 $\frac{3\pi}{2}$ 等）。
公式：$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
提示：分母为0时，正切值无穷大，对应角度为 $\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$，需结合角度范围判断。
步骤 4/7
目标：处理 $x<0$ 的情况：变量代换
当 $x < 0$ 时，令 $x = -t$，其中 $t > 0$。则 $\arctan x = \arctan(-t) = -\arctan t$，$\arctan \frac{1}{x} = \arctan\left(-\frac{1}{t}\right) = -\arctan \frac{1}{t}$。因此 $f(x) = -\left(\arctan t + \arctan \frac{1}{t}\right) = -\frac{\pi}{2}$。
公式：$\arctan(-u) = -\arctan u$
提示：注意 $\arctan$ 是奇函数，但 $\frac{1}{x}$ 的符号也要正确处理。
步骤 5/7
目标：总结 $f(x)$ 的表达式
综合 $x>0$ 和 $x<0$ 的情况，得到 $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & x > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & x < 0 \end{cases}$。
提示：注意 $x=0$ 不在定义域内。
步骤 6/7
目标：化简目标表达式 $\frac{\pi|x|}{2x}$
计算 $\frac{\pi|x|}{2x}$：当 $x>0$ 时，$|x|=x$，原式 $= \frac{\pi x}{2x} = \frac{\pi}{2}$；当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，原式 $= \frac{\pi(-x)}{2x} = -\frac{\pi}{2}$。因此 $\frac{\pi|x|}{2x} = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & x > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & x < 0 \end{cases}$。
提示：注意 $|x|$ 的分段定义，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：比较两者得出结论
比较 $f(x)$ 与 $\frac{\pi|x|}{2x}$ 的表达式，发现两者完全相等。因此，对所有 $x \neq 0$，有 $\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi|x|}{2x}$。
提示：结论是恒等式，注意定义域。
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